Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Fr 28.03.2008 | | Autor: | OJ.Boden |
| Aufgabe | In einer Kiste befinden sich N = 20 Teile, darunter sind K = 5 unbrauchbar. Es werden zur Kontrolle
n = 8 Teile entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich darunter k = 3 unbrauchbare
Teile befinden? |
Mein Problem ist, dass ich eine mathematische Null bin.
Wäre die Aufgabe mit zurücklegen, wäre es ja einfach. Die Wahrscheinlichkeit das ich ein unbrauchbares ziehe liegt bei 25 % und für ein brauchbares bei 75 %. [mm] 3\*\bruch{1}{4}+5*\bruch{3}{4}=4,5. [/mm] Das ganze durch 8 und ich liege bei einer Wahrscheinlichkeit von 56,25 %. Richtig?
Ohne Zurücklegen habe ich aber meine Probleme. Nehmen wir mal an ich ziehe die 3 unbrauchbaren. Das wäre dann [mm] \bruch{5}{20}+\bruch{4}{19}+\bruch{3}{18}. [/mm] Kann ich jetzt einfach so weitermachen und die 5 brauchbaren aus den restlichen 17 Stück ziehen? [mm] \bruch{15}{17}+\bruch{14}{16}+\bruch{13}{15}+\bruch{12}{14}+\bruch{11}{13}.
[/mm]
Irgendwie glaube ich nämlich, dass ich mit dieser Überlegung komplett falsch liege.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 28.03.2008 | | Autor: | abakus |
> In einer Kiste befinden sich N = 20 Teile, darunter sind K
> = 5 unbrauchbar. Es werden zur Kontrolle
> n = 8 Teile entnommen. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, daß sich darunter k = 3 unbrauchbare
> Teile befinden?
> Mein Problem ist, dass ich eine mathematische Null bin.
> Wäre die Aufgabe mit zurücklegen, wäre es ja einfach. Die
> Wahrscheinlichkeit das ich ein unbrauchbares ziehe liegt
> bei 25 % und für ein brauchbares bei 75 %.
> [mm]3\*\bruch{1}{4}+5*\bruch{3}{4}=4,5.[/mm] Das ganze durch 8 und
> ich liege bei einer Wahrscheinlichkeit von 56,25 %.
> Richtig?
Nein. Für die Zugreihenfolge u-u-u-b-b-b-b-b wäre die Wahrscheinlichkeit
[mm] 0,25*0,25*0,25*0,75*0,75*0,75*0,75*0,75=0,25^3*0,75^3
[/mm]
Das ist aber nicht die einzige Mögliche Reihenfolge, um 3-mal u und 5-mal b zu ziehen.
Dafür gibt es [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten.Die Wahrscheinlichkeit wäre [mm] \vektor{8 \\ 3}*0,25^3*0,75^3.
[/mm]
(Es handelt sich dabei um eine Binomialverteilung mit n=8, k=3 und p=0,25).
>
> Ohne Zurücklegen habe ich aber meine Probleme. Nehmen wir
> mal an ich ziehe die 3 unbrauchbaren. Das wäre dann
> [mm]\bruch{5}{20}+\bruch{4}{19}+\bruch{3}{18}.[/mm] Kann ich jetzt
> einfach so weitermachen und die 5 brauchbaren aus den
> restlichen 17 Stück ziehen?
> [mm]\bruch{15}{17}+\bruch{14}{16}+\bruch{13}{15}+\bruch{12}{14}+\bruch{11}{13}.[/mm]
>
> Irgendwie glaube ich nämlich, dass ich mit dieser
> Überlegung komplett falsch liege.
Gut dass du zweifelst. Die Summe dieser ganzen Werte wäre größer als 1.
Beim beschriebenen Ziehen ohne Zurücklegen handelt es sich um eine ![[]](/images/popup.gif) hypergeometrische Verteilung.
Viele Grüße
Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 28.03.2008 | | Autor: | OJ.Boden |
Oha, meine Mathe-Fähigkeiten liegen also wirklich bei Null. Schonmal vielen Dank für die extreme Hilfe.
Nochmal zum Problem mit Zurücklegen. Das mit der Binomialverteilung habe ich nun verstanden. Ihr Lösungsergebniss war [mm] \vektor{8 \\ 3}*0,25^3*0,75^3. [/mm] Müsste es nicht aber [mm] \vektor{8 \\ 3}*0,25^3*0,75^5 [/mm] sein oder interpretiere ich da mein Tafelwerk schon wieder falsch? Ihre Wahrscheinlichkeit beträge dann 36,91 % und meins 20,76%
Bei dem Problem ohne Zurücklegen komme ich nun auf dieses Ergebniss.
P = [mm] (\vektor{5\\ 3}*\vektor{15 \\ 5})/\vektor{20\\ 8}
[/mm]
P = 23,84 %
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Unabhängig von dir habe ich das gleiche Ergebnis raus: [mm] \bruch{77}{323}=0.238 [/mm]
Die einzelnen Schritte dahin sind:
Zunächst mal tust du so, als ergäben die ersten drei Ziehungen die 3 Unbrauchbaren und die nächsten fünf Ziehungen die 5 Brauchbaren.
Und dann überlegst du dir, in wie viele Reihenfolgen du die acht gezogenen Teile legen kannst.
Als dritten Schritt musst du dann überlegen, dass du die Unbrauchbaren bzw. der Brauchbaren hinsichtlich der Reihenfolge untereinander austauschen könntest.
Nun hast du einen ellenlangen Bruch. Da kannst du viel kürzen, und am Ende kommt raus:
[mm] \bruch{77}{323} [/mm] <-- siehe oben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 29.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Oha, meine Mathe-Fähigkeiten liegen also wirklich bei Null.
> Schonmal vielen Dank für die extreme Hilfe.
>
> Nochmal zum Problem mit Zurücklegen. Das mit der
> Binomialverteilung habe ich nun verstanden. Ihr
> Lösungsergebniss war [mm]\vektor{8 \\ 3}*0,25^3*0,75^3.[/mm] Müsste
> es nicht aber [mm]\vektor{8 \\ 3}*0,25^3*0,75^5[/mm] sein oder
Sicher. Habe mich leider verschrieben.
Gruß Abakus
> interpretiere ich da mein Tafelwerk schon wieder falsch?
> Ihre Wahrscheinlichkeit beträge dann 36,91 % und meins
> 20,76%
>
> Bei dem Problem ohne Zurücklegen komme ich nun auf dieses
> Ergebniss.
>
> P = [mm](\vektor{5\\ 3}*\vektor{15 \\ 5})/\vektor{20\\ 8}[/mm]
> P =
> 23,84 %
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 29.03.2008 | | Autor: | OJ.Boden |
Sehr schön. Dann bin ich vorerst im Bilde. Vielen Dank euch beiden.
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