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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 5 rot und schwarze Kugel. Es wird immer eine Kugel gezogen und sofort zurückgelegt.
Es wird 3x eine Kugel gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Kugeln rot sind?
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Wir haben
- 12 Elemente --> [mm] \bruch{1}{12} [/mm] pro Zug
- für rote Kugeln--> [mm] \bruch{5}{12}
[/mm]
- für schwarz --> [mm] \bruch{7}{12}
[/mm]
Und nun ? Wir wissen recht nicht weiter?
annett
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Ziehen mit Zurücklegen!
Bernoulli-Experiment -> Bernoulli-Kette -> Anzahl der Erfolge ist binomial verteilt
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ok.
Wir stehen nicht wie man an solche aufgaben herangeht.
und fragen uns,wie die Formel P(X=k)= [mm] \vektor{n \\ k}*x^{k}*(1-p)^{n-k} [/mm] zu nutzen ist.
was setzen wir wo in dieser Formel ein? Und Warum?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Walde |
Ok, also zuallererst: eure Formel ist falsch, es muss richtig
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}\cdot{}p^{k}\cdot{}(1-p)^{n-k}
[/mm]
heissen.
Wie passt diese Formel jetzt mit eurem Experiment zussammen? Folgendermassen:
In eurem Zufallsexperiment habt ihr für das Ereignis "es wird eine rote Kugel gezogen" schon die W'keit 5/12 ausgerechnet. Gut, die nennen wir zur Abkürzung p.
p=5/12
Die W'keit eine Schwarze zu ziehen ist 1-(5/12)=7/12.
Ihr wiederholt euer Experiment n=3 mal.
Wir brauchen jetzt eine Variable, die zählt, wieviele Kugeln rot sind, wenn wir dreimal ziehen. Dieser Variable ist eine Zufallsvariable, wir nennen sie X. X kann Werte zwischen 0 und 3 annehmen. Klar warum? Weil wir, wenn wir 3 mal ziehen 0,1,2 oder 3 rote Kugeln ziehen können.
Wie gross ist jetzt die W'keit X=2 rote zu ziehen? RRS soll bedeuten ich habe ROT ROT SCHWARZ gezogen, wie gross ist dafür die W'keit?
p*p*(1-p)
Aber die Reihenfolge ist egal. RRS RSR SRR sind alles Ereignisse, bei denen X=2 ist. Allgemein: Wieviele Möglichkeiten habe ich 2 Rote auf 3 mögliche Plätze zu verteilen? für die erste 3, für die zweite noch 2 freie Plätze, also 3*2, allerdings kann ich ja gar nicht zwischen einer ersten und zweiten roten Kugel unterscheiden, sprich [mm] R_{1}R_{2}S [/mm] ist dasselbe wie
[mm] R_{2}R_{1}S. [/mm] Ich muss also 3*2 noch durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, die ich die gezogen roten Kugeln anordnen kann, also [mm] \bruch{3*2}{2}=3. [/mm] Noch allgemeiner: Wieviele Möglichkeiten gibt es k Kugeln, die nicht zu unterscheiden sind, auf n Plätze zu verteilen? [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Und so kommt die Formel zusammen:
[mm] P(X=2)=\vektor{3 \\ 2}p^2*(1-p)
[/mm]
Alles klar? ;)
L G. walde
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