Wahrsch. teilerfremd < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 14.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo an alle!
ich weiß bei dieser aufgabe einfach nicht, wie ich sie beweisen soll.
aus den zahlen 1, ..., n wird zufällig ene zahl m ausgewählt (Laplace-experiment). sind [mm] p_{1}, [/mm] ..., [mm] p_{k} [/mm] die paarweise versch. primfaktoren von n, so beweise man:
die wahrscheinlichkeit P(m und n teilerfremd) = [mm] \produkt_{i=1}^{k} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{p_{i}})
[/mm]
es gilt doch:
n = [mm] p_{1} [/mm] * ... * [mm] p_{k} [/mm]
aber warum ist die wahrscheinlichkeit, dass m und n nicht den selben teiler [mm] p_{i} [/mm] haben [mm] (1-p_{i})??
[/mm]
das verstehe ich nicht.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. ich wäre dankbar für jede hilfe!
danke schön!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
also, von den zahlen 1, ..., n sind ja genau [mm] \bruch{n}{p_{i}} [/mm] zahlen durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar. die wahrscheinlichkeit, dass m durch [mm] p_{i} [/mm] (i [mm] \le [/mm] k) teilbar ist, ist ja wegen dem laplace-experiment die anzahl der möglichkeiten, dass m durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar ist, geteilt durch die anzahl aller möglichkeiten für m.
[mm] P(p_{i}|m)=\bruch{n}{p_{i}}*\bruch{1}{n}=\bruch{1}{p_{i}}
[/mm]
davon das gegenereignis:
P( [mm] p_{i} [/mm] teilt nicht [mm] m)=1-P(p_{i}|m)=1-\bruch{1}{p_{i}}
[/mm]
damit m und n teilerfremd sind, darf m durch kein [mm] p_{i} [/mm] teilbar sein, die wahrscheinlichkeit hierfür ist dann nach der pfadregel:
P(m und n teilerfremd)= [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1-\bruch{1}{p_{i}}) [/mm] q.e.d.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 14.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo cool-Y!
danke für deine antwort. ich habe sie größtenteils verstanden.
aber leider verstehe ich einen punkt nicht ganz:
warum ist die anzahl der möglichkeiten, dass m durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar ist gleich [mm] \bruch{n}{p_{i}}?
[/mm]
das verstehe ich nicht ganz. ich hoffe, du kannst meine frage beantworten.
danke!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Di 15.11.2005 | | Autor: | Cool-Y |
das kann man sich so veranschaulichen:
damit die zahl m durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar ist, muss sie ein vielfaches von [mm] p_{i} [/mm] sein. also [mm] m=j*p_{i}. [/mm] die vorraussetzung war ja, dass m unter den zahlen 1, ..., n ist.
also:
[mm] 1\le m\le [/mm] n [mm] \gdw 1\le j*p_{i}\le [/mm] n
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{1}{p_{i}} \le [/mm] j [mm] \le \bruch{n}{p_{i}}
[/mm]
j muss aber eine ganze zahl sein, also gilt:
1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le \bruch{n}{p_{i}} [/mm] (n ist ja durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar).
Also gibt es genau [mm] \bruch{n}{p_{i}} [/mm] Möglichkeiten für j, und damit auch für m, wenn m durch [mm] p_{i} [/mm] teilbar sein soll.
wenn noch unklarheiten auftreten, einfach nachfragen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Di 15.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo cool-Y!
danke für deine hilfe! hab alles verstanden! super erklärt! thanks!
VHN
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