Wahr oder falsch < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Do 30.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | | Es gibt quadratische Matrizen A und B über [mm] \IR [/mm] mit Rg(A) = 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 0. |
| Aufgabe 2 | | Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) = 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 1. |
| Aufgabe 3 | Es gibt quadratische Matrizen A und B, deren Einträge 0 oder 1 sind, so dass Rg(AB) = 1, falls A und B Matrizen über [mm] \IR [/mm] sind, und Rg(AB) = 0, falls A und B Matrizen über [mm] \IF_2 [/mm] sind.
[mm] (\IF_2={0,1}) [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Es gibt quadratische Matrizen A und B über [mm] \IR, [/mm] so dass Rg(AB) [mm] \not= [/mm] Rg(BA) gilt. |
| Aufgabe 5 | | Es gibt eine quadratische Matrix A über R mit Rg(A) = 2, Rg(AA) = 1 und Rg(AAA) = 1. |
| Aufgabe 6 | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei A [mm] \in M_{mn}(\IK). [/mm] Sei Rg(A) = m. Dann gilt m [mm] \le [/mm] n. |
| Aufgabe 7 | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei [mm] A \in M_{mn}(\IK) [/mm]. Sei Rg(A) = n. Dann gilt m [mm] \le [/mm] n. |
| Aufgabe 8 | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und seien [mm] A,B \in M_{nn}(\IK) [/mm]. Dann gilt Rg(A + B) = Rg(A) + Rg(B). |
| Aufgabe 9 | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei [mm] A \in M_{mn}(\IK) [/mm]. Dann ist A zeilenäquivalent zu −A. |
| Aufgabe 10 | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und seien [mm] C,D \in M_{nn}(\IK) [/mm]. Wenn Rg(C) = Rg(D), so folgt Rg(CC) = Rg(DD). |
Hallo,
Meine Vermutungen zu den Behauptungen:
1) falsch.
2) wahr.
3) wahr.
4) falsch.
5) falsch.
6) wahr.
7) falsch.
8) falsch.
9) wahr.
10) hier weiß ich nicht genau.
Liege ich da richtig?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo stefan00!
> Meine Vermutungen zu den Behauptungen:
> 1) falsch.
> 2) wahr.
> 3) wahr.
> 4) falsch.
> 5) falsch.
> 6) wahr.
> 7) falsch.
> 8) falsch.
> 9) wahr.
> 10) hier weiß ich nicht genau.
Naja, Sinn einer solchen Aufgabe sind ja nicht Vermutungen, sondern entweder Gegenbeispiele oder Beweise. Wie kommst du denn auf deine Vermutungen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Fr 31.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Bastiane,
> Naja, Sinn einer solchen Aufgabe sind ja nicht Vermutungen,
> sondern entweder Gegenbeispiele oder Beweise. Wie kommst du
> denn auf deine Vermutungen?
ja, das weiß ich, aber die Zeit drängt und ich bin nicht so schnell mit den Aufgaben. Da wollte ich nur ein paar Tipps, ob ich richtig liege oder total daneben, mehr nicht, natürlich sollte es Gegenbeispiele oder Beweise geben, aber das schaff ich nicht in der Zeit.
Danke, Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt quadratische Matrizen A und B über [mm]\IR[/mm] mit Rg(A) =
> 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 0.
[mm] $A:=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }$, $B:=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }\,.$
[/mm]
> Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) =
> 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 1.
[mm] $\red{A:=B:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }}\,.$
[/mm]
Edit: Fehler. Siehe Hinweis von Konfuzius! 
Was sagt Dir das über Deine ersten beiden Vermutungen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 Fr 31.10.2008 | | Autor: | konfuzius |
> > Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) =
> > 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 1.
>
> [mm]A:=B:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\,.[/mm]
>
> Was sagt Dir das über Deine ersten beiden Vermutungen?
Das hier gar nichts, denn sofern die Nacht noch nicht zu fortgeschritten ist, haben A, B und AB eher Rang 2 als 1. Wahrscheinlich hast du dich irgendwo vertippt. Aber so ähnlich, zB A=B=[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }\,.[/mm]
Aber Stefan, genauso wie Marcel hier begonnen hat, solltest du auch vorgehen. Spiele doch mal etwas rum, und wenn du Gegenbeispiele, bzw Beispiel für eine Aussage hast, hast du doch auch sofort die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
hast Du Recht 
Hallo,
> > > Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) =
> > > 1, Rg(B) = 1 und Rg(AB) = 1.
> >
> > [mm]A:=B:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\,.[/mm]
> >
> > Was sagt Dir das über Deine ersten beiden Vermutungen?
> Das hier gar nichts, denn sofern die Nacht noch nicht zu
> fortgeschritten ist, haben A, B und AB eher Rang 2 als 1.
> Wahrscheinlich hast du dich irgendwo vertippt. Aber so
> ähnlich, zB A=B=[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }\,.[/mm]
> Aber Stefan,
> genauso wie Marcel hier begonnen hat, solltest du auch
> vorgehen. Spiele doch mal etwas rum, und wenn du
> Gegenbeispiele, bzw Beispiel für eine Aussage hast, hast du
> doch auch sofort die Antwort!
ups, es war anscheinend zu spät. Ich hatte mich anfangs beim ersten Beispiel schon vertippt und beim zweiten gar nicht mehr aufgepasst.
Danke für den Hinweis
Aber nehmen wir hier nun
[mm] $$A:=B^T:=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }\,.$$
[/mm]
Und damit es nicht zu peinlich wird, rechne ich's gerade auch nochmal nach
[mm] $$A*B=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }*\pmat{ 1 & 0 \\1 & 0 }=\pmat{2 & 0\\0 & 0}\,.$$
[/mm]
(Edit: Sogar da hatte ich mich erst verrechnet ^^ Ich glaube, ich muss das Rechnen nochmal üben .)
Jetzt passt's aber, hoffe ich ^^
(Und wohl noch einfacher wäre [mm] $A:=B:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\,.$)
[/mm]
(@ Stefan: Es geht übrigens noch einfach mit $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrizen: [mm] $(2)*(4)=(8)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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