Wahr oder falsch? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
(1) Jede Cauchyfolge im offenen Einheitsintervall $(0,1)$ konvergiert.
(2) Eine auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetige Funktion [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] ist nicht notwendigerweise injektiv.
(3) Eine auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] differenzierbare Funktion [mm] $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] ist stets surjektiv. |
Hallo, ich habe alle drei Aussagen als "wahr" bewertet. Nach einer Begründung ist zwar in der Aufgabenstellung nicht explizit gefragt, aber ich denke, es wäre doch gut, eine Begründung zu geben. 
(1) Ich habe mir einfach dazu gedacht, dass eine Cauchyfolge in $(0,1)$ ja auch eine Cauchyfolge in den reellen Zahlen sind und die reellen Zahlen sind vollständig, das heißt, dass jede Cauchyfolge auch konvergiert.
(2) Da habe ich an die Betragsfunktion gedacht, also an
[mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto \lvert x\rvert$, [/mm] die ist nämlich stetig auf ganz [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] aber nicht injektiv.
(3) Eine auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] diff.bare Funktion ist auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetig, das bedeutet, dass es keine Lücken geben darf. Und das wiederum bedeutet, dass es immer mindestens ein Urbild gibt, also dass die Funktion surjektiv ist.
Sind meine Antworten (und meine Begründungen) okay?
Schöne Grüße
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Hallo,
(1) und (2) siehst du richtig, wobei in der Begründung zur (1) doch m.W. nach auch noch der Begriff metrischer Raum vorkommen sollte.
Bei der (3) muss ich dir widersprechen. Hier gibt es massenhaft einfachste Gegenbeispiele, da solltest du selbst drauf kommen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
>
> (1) Jede Cauchyfolge im offenen Einheitsintervall [mm](0,1)[/mm]
> konvergiert.
>
> (2) Eine auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] stetige Funktion
> [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] ist nicht notwendigerweise
> injektiv.
>
> (3) Eine auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbare Funktion
> [mm]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] ist stets surjektiv.
> Hallo, ich habe alle drei Aussagen als "wahr" bewertet.
> Nach einer Begründung ist zwar in der Aufgabenstellung
> nicht explizit gefragt, aber ich denke, es wäre doch gut,
> eine Begründung zu geben.
>
>
> (1) Ich habe mir einfach dazu gedacht, dass eine
> Cauchyfolge in [mm](0,1)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ja auch eine Cauchyfolge in den
> reellen Zahlen sind und die reellen Zahlen sind
> vollständig, das heißt, dass jede Cauchyfolge auch
> konvergiert.
ich habe hier ein Problem mit der Aufgabenstellung, denn es ist ganz
entscheidend, welcher metrische Raum zugrunde liegt. Ist nämlich etwa
der metrische Raum
$(\;(0,1),d_{|.|}\;)$
gemeint, wobei $|.|\,$ eine Kurznotation von ${\left.|.|}\right|_{(0,1)}$ (die Einschränkung
des Betrages auf das offene Intervall $(0,1)$) ist, dann ist die Aussage
falsch, weil dieser metrische Raum nicht vollständig ist. Z.B. wäre
$(1-\tfrac{1}{n+1})_{n \in \IN}$ ( oder $(\tfrac{1}{n+1})_{n \in \IN}$ ) (bei mir ist $0 \notin \IN$!)
eine Cauchyfolge, die in $\mathbf{(0,1)}$ (!!) nicht(!!!) konvergieren kann!
Bei (2) hat Diophant ja schon etwas gesagt, ich will Dir aber dennoch sagen,
dass Du Dir das Leben ein wenig zu schwer gemacht hast:
Konstante Funktionen $\IR \to \IR$ sind stetig, aber nicht injektiv. Insbesondere
hättest Du die Nullfunktionen ( es gibt natürlich nur eine Nullfunktion $\IR \to \IR$  )
hernehmen können!
Und jetzt denke auch nochmal an (3): Könnte man da nicht die Nullfunktion
mal betrachten? ( Abgesehen davon, dass Du sicher auch schon sowas wie
$\sin$ kennst. )
Gruß,
Marcel
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Dankeschön, ich habe wirklich zu kompliziert gedacht.
Zu (3): Z. B. ist [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2$ [/mm] auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar, aber nicht surjektiv, da zum Beispiel -1 kein Urbild hat.
Aber ist das ein geeigntes Gegenbeispiel, da ja nur in die nicht-negativen reellen ahlen abgebildet wird und man ja aber Funktionen nehmen soll, die nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] abbilden?
By the way: War die Betragsfunktion bei (2) überhaupt richtig als Gegenbeispiel, weil die ja nicht in die reellen Zahlen abbildet, sondern nur in die nicht-negativen reellen Zahlen?
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Hallo,
> Dankeschön, ich habe wirklich zu kompliziert gedacht.
>
> Zu (3): Z. B. ist [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2[/mm]
> auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbar, aber nicht surjektiv,
> da zum Beispiel -1 kein Urbild hat.
>
>
> By the way: War die Betragsfunktion bei (2) überhaupt
> richtig als Gegenbeispiel, weil die ja nicht in die reellen
> Zahlen abbildet, sondern nur in die nicht-negativen reellen
> Zahlen?
Gut, dass du diese Frage stellst: sie offenbart einen gravierenden Denkfehler. Eine Funktion ist bekanntlich ein Tripel bestehend aus Definitionsmenge, Zielmenge sowie Abbildungs- bzw. Zuordnungsvorschrift. Schauen wir uns den Begriff Zielmenge mal etwas näher an bzw. man liest das halt nach, so machen wir uns klar, dass die Zielmenge eine Obermenge des eigentlichen Bildes der Definitionsmenge ist, sprich: nicht jeder Wert aus der Zielmenge muss auch angenommen werden. Sonst wäre ja jede Funktion surjektiv und die ganze schöne Eigenschaft unnötig!
Du solltest dir da unbedingt nochmals klar machen, dass bspw. die Funktionen [mm] f_1, f_2 [/mm] mit
[mm] f_1: \IR\to\IR [/mm] ; [mm] f_1(x)=x^2
[/mm]
[mm] f_2: \IR\to\IR_{\ge{0}} [/mm] ; [mm] f_2(x)=x^2
[/mm]
zwei völlig unterschiedliche Funktionen sind. Insbesondere ist [mm] f_2 [/mm] surjektiv, [mm] f_1 [/mm] jedoch nicht.
Jetzt klarer?
Gruß, Diophant
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Ja, danke.
Mit anderen Worten: Es würde gar keinen Sinn machen, die Aussage als wahr oder falsch bewerten zu lassen, wenn Wertemenge immer gleich Bildmenge sein sollte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, danke.
>
> Mit anderen Worten: Es würde gar keinen Sinn machen, die
> Aussage als wahr oder falsch bewerten zu lassen, wenn
> Wertemenge immer gleich Bildmenge sein sollte.
naja, ich würde eher sagen, dass der Begriff
"surjektiv"
überflüssig wird. Was übrigens hier gesagt wird, und vielen ist das (am
Anfang) (noch) nicht klar:
Dass eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ surjektiv ist, bedeutet ja per Definitionem (ich
behaupte mal, dass das jedenfalls eine der gängigsten ist):
Für jedes $z [mm] \in [/mm] Z$ gibt es ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=z\,.$
[/mm]
Diese Definition ist gleichwertig (man sagt auch: kann *charakterisiert* werden) mit
[mm] $f(D)=Z\,.$
[/mm]
Dabei gilt [mm] $f(D):=\{w \in Z: \exists x \in X \text{ mit }f(x)=w\}\,.$
[/mm]
Natürlich sagt man jetzt: "Ach klar, das ist doch ersichtlich per Definitionem".
Dennoch: Man muss hier wenigstens die Definition von [mm] $f(D)\,$ [/mm] kennen, und
auch dann sollte man sich die Äquivalenz wenigstens im Kopf klar machen!
Natürlich geht das *Ruckizucki*. Und dennoch ist es auch manchmal gut,
wenn man sich ganz triviales mal hinschreibt, nur, damit man auch gesehen
hat, dass das trivial (oder *das Gleiche*) war.
Gruß,
Marcel
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> Eine Funktion ist bekanntlich ein
> Tripel bestehend aus Definitionsmenge, Ziel- bzw.
> Wertemenge sowie Abbildungs bzw. Zuordnungsvorschrift.
> Schauen wir uns den Begriff Wertemenge mal etwas näher an
> bzw. man liest das halt nach, so machen wir uns klar, dass
> die Wertemenge eine Obermenge des eigentlichen Bildes der
> Definitionsmenge ist, sprich: nicht jeder Wert aus der
> Wertemenge muss auch angenommen werden.
Hallo Diophant,
der Begriff "Wertemenge" (anstelle von "Zielmenge")
ist äußerst ungeeignet, unglücklich bzw. ungeschickt !
siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Üblicherweise wird ja eben wirklich das Bild einer
Funktion als Wertebereich oder eben Wertemenge
bezeichnet.
Anstelle von "Zielmenge" gibt es auch noch den Begriff
"Wertevorrat", der immerhin besser ist als "Wertemenge",
was man doch sinnvollerweise sprachlich interpretiert
als:
Wertemenge einer Funktion f = Menge der Werte f(x) der Funktion
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Eine Funktion ist bekanntlich ein
> > Tripel bestehend aus Definitionsmenge, Ziel- bzw.
> > Wertemenge sowie Abbildungs bzw. Zuordnungsvorschrift.
> > Schauen wir uns den Begriff Wertemenge mal etwas näher an
> > bzw. man liest das halt nach, so machen wir uns klar, dass
> > die Wertemenge eine Obermenge des eigentlichen Bildes der
> > Definitionsmenge ist, sprich: nicht jeder Wert aus der
> > Wertemenge muss auch angenommen werden.
>
>
> Hallo Diophant,
>
> der Begriff "Wertemenge" (anstelle von "Zielmenge")
> ist äußerst ungeeignet, unglücklich bzw. ungeschickt !
ja, ebenfalls sowas wie Wertebereich. Ich habe mir angewöhnt, wenn ich
es mal in der Eile der Zeit nicht vergesse, von Zielbereich oder Zielmenge
zu reden. Deswegen schreibe ich auch am Liebsten $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to Z\,,$ [/mm] anstatt sowas
wie $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to Y\,.$ [/mm] Dann denkt man auch eher dran.
> siehe dazu auch
> Wikipedia
>
> Üblicherweise wird ja eben wirklich das Bild einer
> Funktion als Wertebereich oder eben Wertemenge
> bezeichnet.
>
> Anstelle von "Zielmenge" gibt es auch noch den Begriff
> "Wertevorrat", der immerhin besser ist als "Wertemenge",
> was man doch sinnvollerweise sprachlich interpretiert
> als:
>
> Wertemenge einer Funktion f = Menge der Werte f(x) der
> Funktion
Das Problem ist hier sicher auch der geschichtliche Verlauf, das heißt, viele
benutzten wohl schon auch den Begriff "Wertemenge" im Sinne einer
Obermenge der angenommenen Funktionswerte.
Ich weiß es nicht und will es auch nicht behaupten, aber ich will drauf
hinweisen, dass wenigstens Herr Luh mich mit seiner Benutzung des
Begriffs *eineindeutig* immer verwirrt hatte. Warum?
Naja, deswegen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t#Geschichte
Wobei ich heute gar nicht mehr weiß, welche Definition er benutzt hatte,
ich glaube, er benutzte diesen Begriff im Sinne von bijektiv, und ich kannte
ihn im Sinne von injektiv... Kann aber auch genauso gut umgekehrt gewesen
sein, denn das Ganze ist schon so 6, 7 Jährchen her...
Gruß,
Marcel
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> Benutzung des Begriffs *eineindeutig* ...
Noch schlimmer wird es, wenn sich z.B. Politiker
eines Begriffes bemächtigen, der ihnen wohl im
damaligen Unterricht Eindruck gemacht hatte
und ihn dann in der ihnen passenden Weise in
Diskussionen einsetzen. So habe ich letzte Woche
einen Teilnehmer in einer Politsendung gehört,
der das Wort "eineindeutig" offenbar als Steige-
rungsform von "eindeutig" versteht (analog zu
"einzigst" als Steigerung von "einzig" ...).
Er sagte, dass ein gewisses soziales Problem
eineindeutig auf die mangelhafte Durchsetzung
der vorhandenen Gesetze zurückzuführen sei ...
LG , Al-Chwarizmi
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Zum Thema "Größter gemeinsamer Nenner":
Um zum Beispiel die Summe
[mm] $\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$
[/mm]
zusammenzufassen, bringt man die beiden Brüche
zunächst durch passendes Erweitern auf einen
gemeinsamen Nenner, sinnvollerweise auf den
kleinsten gemeinsamen Nenner, der hier 30 wäre:
[mm] $\frac{1}{6}+\frac{1}{10}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1*5}{6*5}+\frac{1*3}{10*3}\ [/mm] =\ [mm] \frac{5}{30}+\frac{3}{30}\ [/mm] =\ [mm] \frac{8}{30}\ =\frac{4}{15}$
[/mm]
Mir ist leider nicht bekannt, wer wann diesen Begriff
des gemeinsamen Nenners aus der Sprache des Bruch-
rechnens in die Umgangssprache rübergenommen hat.
Ich vermute aber, dass das damals noch in einigermaßen
sinngemäßer Weise geschah.
Heute ist es aber in politischem Jargon schon fast eine
Beleidigung der Vermittler, wenn es heißt, sie hätten
"nur den kleinsten gemeinsamen Nenner" in einer
Auseinandersetzung gefunden.
Naja, in den Augen von Journalisten etc. heißt halt
wohl "kleinster" einfach auch "mickrigster" - und deshalb
haben sie kurzerhand den Begriff des "größten gemeinsamen
Nenners" in ihren hohlen Slang eingeführt. Die Leser
und Hörer schlucken es willig.
Für ein paar einschlägige Beispiele: Größter gemeinsamer Nenner
Obwohl es rechnerisch gesehen für die simple Addition
zweier Brüche (wo der Begriff des gemeinsamen Nenners
ursprünglich herstammt), eben gar keinen größten
gemeinsamen Nenner gibt ! Im obigen Beispiel käme
jedes Vielfache von 30 als gemeinsamer Nenner in Frage,
und unter diesen Vielfachen der Form k*30 (mit [mm] k\in\IN [/mm] )
gibt es eben kein größtes.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Zum Thema "Größter gemeinsamer Nenner":
>
> Um zum Beispiel die Summe
>
> [mm]\frac{1}{6}+\frac{1}{10}[/mm]
>
> zusammenzufassen, bringt man die beiden Brüche
> zunächst durch passendes Erweitern auf einen
> gemeinsamen Nenner, sinnvollerweise auf den
> kleinsten gemeinsamen Nenner, der hier 30 wäre:
>
> [mm]\frac{1}{6}+\frac{1}{10}\ =\ \frac{1*5}{6*5}+\frac{1*3}{10*3}\ =\ \frac{5}{30}+\frac{3}{30}\ =\ \frac{8}{30}\ =\frac{4}{15}[/mm]
>
> Mir ist leider nicht bekannt, wer wann diesen Begriff
> des gemeinsamen Nenners aus der Sprache des Bruch-
> rechnens in die Umgangssprache rübergenommen hat.
> Ich vermute aber, dass das damals noch in einigermaßen
> sinngemäßer Weise geschah.
naja, es geht in dieser Aufgabe ja auch mehr darum, dass man bemerkt,
dass das, was man eigentlich macht, darauf hinausläuft, das kleinste
gemeinsame Vielfache zu bestimmen. Oben:
[mm] $6=2*3\,$ [/mm] und [mm] $10=2*5\,$ [/mm] liefert [mm] $\text{kgV}(6,10)=2*3*5=30\,.$
[/mm]
In der Politik stellt man seine Ziele, Ideen oder Anliegen aber nicht als
Brüche dar. Tatsächlich wäre es sprachlich besser, hier von dem kleinsten
gemeinsamen Vielfachen zu sprechen, auf das man sich einigt (jeder
akzeptiert von dem anderen das, was er auch will und nimmt nur möglichst
wenig andere Interessen mit, wenn sie mit den eigenen *kollidieren*).
Aber ich finde den Begriff des kleinsten gemeinsamen Nenners auch nicht
gänzlich unpassend. Der des größten gemeinsamen Nenners erschließt
sich mir gar nicht, denn so etwas existiert in meiner Welt nicht. ( Oder bringen
wir alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner [mm] $\infty$? [/mm] )
> Heute ist es aber in politischem Jargon schon fast eine
> Beleidigung der Vermittler, wenn es heißt, sie hätten
> "nur den kleinsten gemeinsamen Nenner" in einer
> Auseinandersetzung gefunden.
>
> Naja, in den Augen von Journalisten etc. heißt halt
> wohl "kleinster" einfach auch "mickrigster" - und deshalb
> haben sie kurzerhand den Begriff des "größten
> gemeinsamen
> Nenners" in ihren hohlen Slang eingeführt.
> Die Leser und Hörer schlucken es willig.
Ein ziemlich dämlicher Begriff. ^^
> Für ein paar einschlägige Beispiele:
> Größter gemeinsamer Nenner
>
> Obwohl es rechnerisch gesehen für die simple Addition
> zweier Brüche (wo der Begriff des gemeinsamen Nenners
> ursprünglich herstammt), eben gar keinen größten
> gemeinsamen Nenner gibt ! Im obigen Beispiel käme
> jedes Vielfache von 30 als gemeinsamer Nenner in Frage,
> und unter diesen Vielfachen der Form k*30 (mit [mm]k\in\IN[/mm]
> )
> gibt es eben kein größtes.
Eben, genau diese Überlegung hatte ich auch angestellt. Von daher ist
dieser Begriff für mich *hohl*!
P.S. So, jetzt habe ich mich gerade selbst verwirrt: Passt vielleicht nicht
sogar der Begriff des größten gemeinsamen Teilers besser zu dem, was
man in der Politik den kleinsten gemeinsamen Nenner nennt?
Man einigt sich ja bei 2 Parteien doch am ehesten auf das, was die beiden
Parteien gemeinsam interessiert. Aber ich lass' das mal im Raum, dennoch
denke ich, dass der kleinste gemeinsame Nenner aus der Politik eher
sowas wie der größte gemeinsame Teiler ist. ^^
Gruß,
Marcel
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> Den kleinsten gemeinsamen Nenner könnte man im Fach Physik
> mit dem "Quantensprung" ersetzen... ;)
Aber die Quantensprünge haben da mindestens noch sehr
starke Konkurrenten in Form der Schwarzen Löcher.
Die haben den gemeinen Sprachgebrauch noch schneller
vereinnahmt als sie Sterne verschlucken.
Und heutige Alternativheiler begründen die Tatsache,
dass ihre Methoden oft allen Erkenntnissen der "Schulmedizin"
entgegenstehen, sehr gerne damit, dass sie eben nach
quantenphysikalischen Prinzipien arbeiten würden
(obwohl keiner von ihnen überhaupt jemals irgendwas
von Physik, geschweige denn von Quantenphysik verstanden
haben dürfte ...)
Quantenunsinn
Naja, als versöhnliches Schlusswort:
Jeder Grashalm "wendet Quantenphysik an" (bei der Photo-
synthese), ohne auch nur die blasseste Ahnung davon zu haben ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 07.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wir hatten damals in der Schule das Bild Wertebereich und die Zielmenge Wertemenge genannt. Mir ist auch klar, dass dies unglücklich ist, ich falle manchmal gewohnheitsmäßig in diese Bezeichnungen nzurück. Durch den text dürfte ja aber schon klar geworden sein, um was es eigentlich geht?
Gruß, Diophant
PS: ich bessere das oben mal noch nach.
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