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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Munzijoy |
| Aufgabe | Bei einem Wachstumsprozeß ist der Momentanbestand [mm] n_k(t) [/mm] zum Zeitpunkt Sekunden gegeben durch
[mm] n_k(t)=k*e-k*e^{-t} [/mm] ; k>0, [mm] t\ge0.
[/mm]
Für welche Werte von k ist der Anfangsbestand [mm] n_k(0) [/mm] größer als [mm] 10^{6} [/mm] ?
In der Zeit von t=0 bis [mm] t=t_1 [/mm] soll [mm] n_k(t) [/mm] um die Hälfte des Anfangsbestandes anwachsen.
Zeige, daß [mm] t_1 [/mm] nicht von k anhängt.
Gib [mm] t_1 [/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an. |
Teilaufgabe 1 habe ich zu lösen versucht, indem ich für [mm] n_k(t) 10^{6} [/mm] eingesetzt habe und versucht habe nach k umzustellen. Dies ist aber nicht möglich. Rechnerisch habe ich als Schnittstelle der Graphen [mm] y_1=10^{6} [/mm] und [mm] y_2=k*e-k*e^{-t} [/mm] erhalten: k> [mm] \approx 5,8*10^{5}. [/mm] Hier bin ich mir nicht ganz sicher.
Für Teilaufgabe 2 "Zeige, daß [mm] t_1 [/mm] nicht von k anhängt." und 3 "Gib [mm] t_1 [/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an." habe ich leider keinerlei Lösungsansatz. Theretisch müsste man bei 2 doch nach [mm] t_1 [/mm] umstellen und k herausfallen - es fällt aber nicht heraus. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden/falsch angesetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Kroni |
> Bei einem Wachstumsprozeß ist der Momentanbestand [mm]n_k(t)[/mm]
> zum Zeitpunkt Sekunden gegeben durch
> [mm]n_k(t)=k*e-k*e^{-t}[/mm] ; k>0, [mm]t\ge0.[/mm]
> Für welche Werte von k ist der Anfangsbestand [mm]n_k(0)[/mm]
> größer als [mm]10^{6}[/mm] ?
> In der Zeit von t=0 bis [mm]t=t_1[/mm] soll [mm]n_k(t)[/mm] um die Hälfte
> des Anfangsbestandes anwachsen.
> Zeige, daß [mm]t_1[/mm] nicht von k anhängt.
> Gib [mm]t_1[/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an.
> Teilaufgabe 1 habe ich zu lösen versucht, indem ich für
> [mm]n_k(t) 10^{6}[/mm] eingesetzt habe und versucht habe nach k
> umzustellen. Dies ist aber nicht möglich.
Was hast du denn dann unten berechnet?!
> Rechnerisch habe
> ich als Schnittstelle der Graphen [mm]y_1=10^{6}[/mm] und
> [mm]y_2=k*e-k*e^{-t}[/mm] erhalten: k> [mm]\approx 5,8*10^{5}.[/mm] Hier bin
> ich mir nicht ganz sicher.
Hi,
du sollst prüfen, für welches k [mm] $n_k(0)>10^6$ [/mm] gilt:
[mm] $n_k(0)=k(e-1)>10^6 \gdw k>\frac{10^6}{e-1}$
[/mm]
Welches deiner Lösung entspricht.
> Für Teilaufgabe 2 "Zeige, daß [mm]t_1[/mm] nicht von k anhängt." und
> 3 "Gib [mm]t_1[/mm] auf zwei Dezimalen gerundet an." habe ich leider
> keinerlei Lösungsansatz. Theretisch müsste man bei 2 doch
> nach [mm]t_1[/mm] umstellen und k herausfallen - es fällt aber nicht
> heraus. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden/falsch
> angesetzt?
Wenn du mir nicht deinen Ansatz verrätst, kann ich dir nicht sagen, ob du falsch angesetzt hast.
Du sollst ja den Zeitpunkt finden, an dem [mm] n_k(t) [/mm] um die Hälfte des Anfangsbestandes angewachsen ist, sprich: Die Hälfte des Anfangsbestandes soll hinzukommen.
Nun stellst du dir die Fragen:
Wie groß ist der Anfangsbestand? [mm] $n_k(0)=k(e-1)$ [/mm] (s.h. erste Aufgabe).
Wie groß ist die Hälfte des Anfangsbestandes?
$0.5k(e-1)$
Wie groß muss [mm] $n_k(t_1)$ [/mm] dann sein, damit es um die Hälfte des Anfangsbestandes angewachsen ist?
[mm] $n_k(t_1)=k(e-1)+0.5k(e-1)=1.5k(e-1)=k(e-e^{-t_1})$
[/mm]
Und da kannste auf beiden Seiten durch k teilen, und du siehst, dass [mm] t_1 [/mm] unabhängig von k ist!
Dann ein bisschen umformen, und du bist zu Hause.
LG
Kroni
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