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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Bobostar |
| Aufgabe | Durch F(t) = (36 * [mm] e^t) [/mm] / (1 + [mm] e^t)
[/mm]
wird der Inhalt der Fläche beschrieben, die ein Schimmelpilz auf einer Brotfläche bedeckt. Dabei wird t in Tagen seit Beobachtungsbeginn und F(t) in cm² gemessen.
a ist bereits gemacht, da brauch ich keine Hilfe, ich stelle sie nur rein, weil oben stand, dass ich alle teilaufgaben mit stellen soll. Also: Hier bei a benötige ich keine Hilfe!
[ a) Zu welchem zeitpkt breitet sich der Schimmelpilz am schnellsten aus? Wie groß ist die max. Ausbreitungsgeschw.? Welche Art von Wachstum liegt vor? Zeichnen sie das Schaubild! ]
b) Zeigen Sie: Für kleine Werte von F(t) gilt näherungsweise die Differentialgleichung F'(t)=F(t).
Geben Sie eine mögliche Lösungsfunktion dieser Differentialgleichung an, die für kleine Werte von F(t) näherungsweise den Inhalt der bedeckten Fläche beschreibt. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de
Guten Tag
Ich bin neu hier und komme gleich mit einem Problem. Ich habe, wie oben erwähnt, die Frage (es geht mir nur um die Frage(n) in b) auch schon in ein anderes Forum gestellt, wo mir allerdings niemand helfen konnte.
Im Moment ist es mir sehr dringend und ich habe nicht mehr viel Zeit das hinzubekommen.
Ich will deshalb von Niemandem Unmenschliches verlangen, mir die Aufgabe in irgendeiner Weise auszurechnen. Alles was ich wünsche ist ein Ansatz, eine Idee, irgendwas, womit ich was anfangen kann. Ein Satz mit welcher Formel ich das Problem am besten löse.
Folgende Angaben will ich machen um euch das Lösen auch noch zu vereinfachen:
F'(t) = (36 [mm] e^t)/((1+e^t)²)
[/mm]
(selbst gerechnet, ist aber richtig)
meine Probleme sind:
Dass wenn ich für t -> - oo einsetze nähern sich beide an 0.
Das stimmt also. Aber eben erst bei Minuszahlen! Wir haben es doch hier mit einem Schimmelpilz zu tun! (oder geht es darum in dieser Teilaufgabe gar nicht mehr??)
Und wie ich die Lösungsfkt angebe hab ich gar keine Ahnung. Ich dachte dann daran einfach F'(t) anzugeben.
Also, es wäre riesig nett wenn man mir helfen würde.
Ich wäre unendlich dankbar.
Vielen Dank schon im Vorraus für jegliche Antwort und jeden Ansatz o.ä.
Mit freundlichen Grüßen,
Patrick
PS: der Link zur (vor bereits 30 Stunden) Frage im anderen Forum:
http://www.onlinemathe.de/forum/Probleme-beim-Rechnen-mit-e-Fkt-und-Wachstum-e-funktion
(Die Probleme 1 und 2 konnte ich allerdings bis jetzt schon lösen. Ich bleibe aber an diesem Problem einfach hängen!)
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Hallo!
Hast du die beiden Funktionen mal geplottet? Das sieht etwa so aus:
40 ++---+----------+---------+---------+----------+---++
| F ****** + + + + |
|F' ###### : *******
| : ******** |
| : **** |
30 ++ : *** ++
| : ** |
| : ** |
| : * |
| : ** |
| :** |
20 ++ ** ++
| ** |
| **: |
| ** : |
| ** : |
10 ++ ** ### ++
| **#### : ##### |
| **## : ### |
| ***# : ### |
| + ****** + + + ###### + |
*********-------+---------+---------+-------#########
-4 -2 0 2 4
tatsächlich sind die Funktionen bis etwa t=-2 ziemlich gleich, danach gehen sie auseinander.
Ich sehe da aber nicht unbedingt einen Widerspruch, denn t=0 ist ja nur der Beginn der Beobachtung, und da floriert der Schimmel ja schon prächtig. Die Näherung kann durchaus nur für den Anfang gelten, noch vor der Beobachtung
Das mit der Differenzialgleichung ist etwas merkwürdig formuliert.
Zunächst sollst du zeigen, daß [mm] F(t)\approx [/mm] F'(t) ist. das beste wird sein, hier sowas wie [mm] \frac{F(t)}{F'(t)}>1-\epsilon [/mm] zu benutzen. Der Bruch ist =1 für identische Funktionen, und weil stets F'(t)<F(t) ist, wird dieser Bruch immer etwas kleiner als 1 sein. Du kannst nun fragen, bis zu welchem t die Funktionen besser als 1% übereinstimmen ( [mm] \epsilon=0,01 [/mm] ).
Nachdem du nun weißt, daß die Differenzialgleichung näherungsweise gilt, sollst du nun ganz unabhängig davon eine eigene Lösung für die DGL finden. Das ist einfach [mm] A*e^t [/mm] .
Nun müßte man noch A bestimmen, indem man einen Punkt einsetzt (Also beispielsweise t und F von der Stelle, wo die Funktionen besser als 1% passen)
Insgesamt kannst du dir überlegen, was da passiert: zunächst hast du vermutlich viele kreisförmige Kolonien, die nach dem exponentiellen Wachstumsgesetz größer werden. (Das ist die Näherung). haben sie etwa 1/4 des Brotes bedeckt, fangen sie an, sich gegenseitig zu berühren. An den stellen wird also nun kein neues Brot mehr überwuchert, und das Wachstum verlangsamt sich. Schließlich ist das ganze Brot bedeckt, und da ist nix mehr zum Ausbreiten.
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Hallo event_horizon und jeder andere der helfen will
Erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort - hat mir sehr geholfen!
Ich komme allerdings bei deinem Beweis nicht wirklich mit.
Du sagst dass $ [mm] \frac{F(t)}{F'(t)}>1-\epsilon [/mm] $
ich verstehe schon, dass F(t) durch F'(t) annäherungsweise 1 geben muss. Aber wieso ist es damit bewiesen, wenn ich sag, dass eben dieser Quotient größer als (1 - eine beliebige Zahl ) ist? F(t) durch F'(t) ist doch immer größer als 1. wieso soll ich da noch eine Variable von der 1 subtrahieren? (oder ist das gar keine Variable sondern ein e=2,7 ? oder für was steht denn das epsilon?)
Verstehst du mein Problem? Für mich ist das damit irgendwie nicht bewiesen. Wenn ich eben sagen will, ab hier gilt: "der Unterschied ist ab t= X nicht mehr größer als 1 % und somit gilt F(t) = F'(t) bei kleinen Zahlen"
(Hab ich den Beweis überhaupt verstanden?!?)
Aber nochmals vielen Dank für deine Antwort und die zweite Aufgabe hab ich so auch gelöst. (Mein Ergebnis:G(t) = 0,028 [mm] e^t [/mm] )
Mit freundlichen Grüßen, Patrick
EDIT: Ich hab die Aufgabe nach einigem Rumprobieren gelöst! Vielen dank nochmal für die Hilfe!
Ich weiß jetzt nicht, was ich machen soll, um diese "Fälligkeit" abzuschalten, also lass ichs einfach bei diesem edit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:51 Di 20.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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