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Heyho!
Für welche [mm] n\in \IN [/mm] ist es ähnlich der Honigwabenstruktur möglich, eine Fläche überlappungsfrei durch gleichgroße, regelmäßige n-Ecke zu überdecken?
Natürlich gehts für 3, 4 und 6...
Sonst noch für weitere? Was wären dann die allgemeinen Bedingungen?
Oder sind das alle? Und wie beweist man dann, dass es sonst nicht geht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Man kann sich, wenn man so ein Parkett vor sich hat, immer schauen, wie viele n-Ecke an einer Ecke aufeinandertreffen.
Ein gleichseitiges Dreieck hat an den Ecken einen Winkel von 60°. Daher kann man an den Spitzen 6 Dreiecke aneinander legen und erhält somit den Vollwinkel 360°. Da das für alle Ecken gilt, kann man damit die Ebene mit gleichseitigen Dreiecken parkettieren.
Das gleiche gilt auch für Quadrate. Winkel an den Ecken beträgt 90°, daher kann man 4 Quadrate an den Ecken jeweils zusammenlegen (4*90°=360°). Wie man es von kariertem Papier kennt.
Mit Sechsecken geht das auch noch, wegen den Innenwinkeln von 120°, die 360° auch teilen (in 3 Teile).
Jetzt bleibt als Teiler von 360° nur noch 180° übrig, aber es gibt kein n-Eck mit 180°-Winkel an den Ecken.
Jetzt könntest du noch zeigen, warum man auch mit 5-Ecken nicht die Ebene parkettieren kann.
Damit hast du eben gezeigt, dass das wirklich nur mit n=3, 4 und 6 geht. Zumindest, wenn man wirklich nur die gleichen Figuren verwenden darf.
Alles klar?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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