W'keit für mehr ... als 20 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Versicherungs-Niederlassung sind insgesamt 60 Agenten beschäftigt, die jeweils einen großen Anteil ihrer Arbeitszeit im Außendienst verbringen. Es sei vorausgesetzt, dass sich jeder Agent (unabhängig von den übirgen Agenten) an jedem beliebigen Arbeitstag mit Wahrscheinlichkeit $p [mm] \in [/mm] (0,1)$ in der Niederlassung befindet.
(a) Berechnen Sie für $p= 0.3$ approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, an einem Arbeitstag mehr als 20 Agenten in der Niederlassung anzutreffen.
(b) Nehmen Sie nun an, dass $p$ unbekannt ist. Um die Büroräume geeignet auszustatten, soll festgelegt werden, wie grpß der erwartete Anteil $p$ der Agenten ist, die sich jeweils in der Niederlassung befinden.
An einem zufällig ausgewählten Arbeitstag sind 18 der insgesamt 60 Agenten in der Niederlassung. Bestimmen Sie mittels dieser Angabe ein approximatives zweiseitiges Konfidenzintervall für $p$ zum Konfidenzniveau 90% |
zunächst mal zur (a)
Sei $X$ Zufallsvariable mit der Bedeutung "Anzahl der anwesenden Agenten"
Es liegt ja eine Binomialverteilung vor (entweder der Agent kommt oder er kommt nicht). Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P(X>20) = [mm] p^{21}+p^{22}+p^{23}+\ldots p^{60}
[/mm]
= [mm] p^{21}*(1+p+p^2+\ldots p^{39})$$
[/mm]
Ich vermute mal die Idee hinter der Aufgabe ist, dass man es nicht mit so viel Rechenaufwand macht sondern eben approximativ, aber dazu fehlt mir immoment die Idee. Irgendwelche Tipps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 15.07.2010 | | Autor: | abakus |
> In einer Versicherungs-Niederlassung sind insgesamt 60
> Agenten beschäftigt, die jeweils einen großen Anteil
> ihrer Arbeitszeit im Außendienst verbringen. Es sei
> vorausgesetzt, dass sich jeder Agent (unabhängig von den
> übirgen Agenten) an jedem beliebigen Arbeitstag mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]p \in (0,1)[/mm] in der Niederlassung
> befindet.
>
> (a) Berechnen Sie für [mm]p= 0.3[/mm] approximativ die
> Wahrscheinlichkeit dafür, an einem Arbeitstag mehr als 20
> Agenten in der Niederlassung anzutreffen.
>
> (b) Nehmen Sie nun an, dass [mm]p[/mm] unbekannt ist. Um die
> Büroräume geeignet auszustatten, soll festgelegt werden,
> wie grpß der erwartete Anteil [mm]p[/mm] der Agenten ist, die sich
> jeweils in der Niederlassung befinden.
>
> An einem zufällig ausgewählten Arbeitstag sind 18 der
> insgesamt 60 Agenten in der Niederlassung. Bestimmen Sie
> mittels dieser Angabe ein approximatives zweiseitiges
> Konfidenzintervall für [mm]p[/mm] zum Konfidenzniveau 90%
> zunächst mal zur (a)
>
> Sei [mm]X[/mm] Zufallsvariable mit der Bedeutung "Anzahl der
> anwesenden Agenten"
>
> Es liegt ja eine Binomialverteilung vor (entweder der Agent
> kommt oder er kommt nicht).
Hallo,
das ist richtig.
> Folglich ist die gesuchte
> Wahrscheinlichkeit
>
> [mm][/mm]P(X>20) = [mm]p^{21}+p^{22}+p^{23}+\ldots p^{60}[/mm]
Das ist sehr falsch. P(X=21) ist z.B nicht [mm] p^{21}, [/mm] sondern [mm] \vektor{60 \\ 21}*p^{21}*(1-p)^{39}.
[/mm]
> =
> [mm]p^{21}*(1+p+p^2+\ldots p^{39})[/mm][mm][/mm]
>
> Ich vermute mal die Idee hinter der Aufgabe ist, dass man
> es nicht mit so viel Rechenaufwand macht sondern eben
> approximativ, aber dazu fehlt mir immoment die Idee.
> Irgendwelche Tipps?
Die Binomialverteilung hat den Erwartungswert 60*0,3=18 und dieStandardabweichung [mm] \wurzel{60*0,3*0,7}.
[/mm]
Erzeuge eine Normalverteilung mit den gleichen Kenndaten.
Gruß Abakus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, approximativ berechne ich dann also mit Hilfe von
$$\sigma = \sqrt{n*p*q} = \sqrt{12,6}$$
und
$$E(x) = n*p = 18$$
die Näherung
$$B(k\mid p,n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot12,6}}\cdot e^{-\frac{(k-18)^2}{2\cdot 12,6}}$$
Und die gesucht W'keit berechnet sich durch
$$ P(X>20) =1-P(X\leq20) = 1-\sum_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot12,6}}\cdot e^{-\frac{(k-18)^2}{2\cdot 12,6}}$$
aber da hab ich doch jetzt auch keine wesentliche vereinfachung? (ausser dass ich keine binomialkoeffizienten lösen brauch)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Fr 16.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok, approximativ berechne ich dann also mit Hilfe von
> [mm]\sigma = \sqrt{n*p*q} = \sqrt{12,6}[/mm]
> und
> [mm]E(x) = n*p = 18[/mm]
> die Näherung
> [mm]B(k\mid p,n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot12,6}}\cdot e^{-\frac{(k-18)^2}{2\cdot 12,6}}[/mm]
>
> Und die gesucht W'keit berechnet sich durch
> [mm]P(X>20) =1-P(X\leq20) = 1-\sum_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot12,6}}\cdot e^{-\frac{(k-18)^2}{2\cdot 12,6}}[/mm]
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> aber da hab ich doch jetzt auch keine wesentliche
> vereinfachung? (ausser dass ich keine binomialkoeffizienten
> lösen brauch)
Es gibt Tabellen für die Standardnormalverteilung [mm] (\mu=0, \sigma=1) [/mm] und Umrechnungsvorschriften für andere [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma.
[/mm]
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