W'keit: Regensensoren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf einer Versuchsfläche im Freien werden 22 kleine identische Regensensoren aufgestellt. Jeder von ihnen hat oben einen kleinen "Teller", der beim Auftreffen des ersten Regentropfens reagiert und den Sensor vom Zustand 0 (noch nicht getroffen) in den Zustand 1 (mindestens einmal getroffen) bringt. Weitere "Treffer" haben keinen Einfluss mehr.
Zu Versuchsbeginn sind alle Sensoren im Zustand 0 . Nachdem die Versuchsfläche von 100'000 Regentropfen getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4 übrigen wurden also noch nicht getroffen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren 100'000 gefallenen Tropfen alle 22 Sensoren im Zustand 1 sind ? |
Hallo,
auf diese Frage bin ich im Zusammenhang mit einer Computer-
simulation gestoßen.
Nun bin ich noch nicht darauf gekommen, wie man diese
Aufgabe am elegantesten löst.
LG Al-Chw.
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> Auf einer Versuchsfläche im Freien werden 22 kleine
> identische Regensensoren aufgestellt. Jeder von ihnen hat
> oben einen kleinen "Teller", der beim Auftreffen des ersten
> Regentropfens reagiert und den Sensor vom Zustand 0 (noch
> nicht getroffen) in den Zustand 1 (mindestens einmal
> getroffen) bringt. Weitere "Treffer" haben keinen Einfluss
> mehr.
> Zu Versuchsbeginn sind alle Sensoren im Zustand 0 .
> Nachdem die Versuchsfläche von 100'000 Regentropfen
> getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4
> übrigen wurden also noch nicht getroffen.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren
> 100'000 gefallenen Tropfen alle 22 Sensoren im Zustand 1
> sind ?
> Hallo,
>
> auf diese Frage bin ich im Zusammenhang mit einer
> Computer-
> simulation gestoßen.
> Nun bin ich noch nicht darauf gekommen, wie man diese
> Aufgabe am elegantesten löst.
>
> LG Al-Chw.
Hallo,
für mich scheint der einzig sinnvolle Ansatz zu sein, diese Wahrscheinlichkeit als [mm] $\left(\frac{18}{22}\right)^4$ [/mm] zu schätzen. Denn:
Wenn das "Anschlagen" der verschiedenen Sensoren unabhängig voneinander geschieht, ist die Zahl der Sensoren, die bei 100.000 Regentropfen reagieren, binomialverteilt mit Parametern n=Zahl der Sensoren und unbekanntem p.
Nun kann man einfach so argumentieren, dass man das Ergebnis des ersten Versuchs nutzt, [mm] $p=\frac{18}{22}$ [/mm] zu schätzen und damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ergebnis des zweiten Versuchs bekommt, dh. die Zahl der verbleibenden Sensoren, die beim zweiten Versuch anschlagen, ist binomialverteilt mit Parametern n=4 und [mm] $p=\frac{18}{22}$.
[/mm]
Auch die Argumentation mit bedingten Wahrscheinlichkeiten fürht zum gleichen Ergebnis, wenn man annimmt, dass die Zahl [mm] $X\sim b_{22;p}$ [/mm] der im ersten versuch reagierenden und die Zahl [mm] $Y\sim b_{4;p}$ [/mm] der im zweiten Versuch reagierenden Sensoren unabhängig sind mit gleichem p. Damit kann das Ergebnis des ersten versuchs nur dazu dienen, eine Schätzung für das unbekannte p zu bekommen.
Nun könnte man natürlich auch argumentieren, dass die 4 Sensoren im ersten Versuch nicht reagiert haben, weil ihr Standort etwas geschützter war, dann würde alles anders ...
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> > Auf einer Versuchsfläche im Freien werden 22 kleine
> > identische Regensensoren aufgestellt. Jeder von ihnen hat
> > oben einen kleinen "Teller", der beim Auftreffen des ersten
> > Regentropfens reagiert und den Sensor vom Zustand 0 (noch
> > nicht getroffen) in den Zustand 1 (mindestens einmal
> > getroffen) bringt. Weitere "Treffer" haben keinen Einfluss
> > mehr.
> > Zu Versuchsbeginn sind alle Sensoren im Zustand 0 .
> > Nachdem die Versuchsfläche von 100'000 Regentropfen
> > getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4
> > übrigen wurden also noch nicht getroffen.
> >
> > Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren
> > 100'000 gefallenen Tropfen alle 22 Sensoren im Zustand 1
> > sind ?
> > Hallo,
> >
> > auf diese Frage bin ich im Zusammenhang mit einer
> > Computer-
> > simulation gestoßen.
> > Nun bin ich noch nicht darauf gekommen, wie man diese
> > Aufgabe am elegantesten löst.
> >
> > LG Al-Chw.
> Hallo,
> für mich scheint der einzig sinnvolle Ansatz zu sein,
> diese Wahrscheinlichkeit als [mm]\left(\frac{18}{22}\right)^4[/mm]
> zu schätzen. Denn:
> Wenn das "Anschlagen" der verschiedenen Sensoren
> unabhängig voneinander geschieht, ist die Zahl der
> Sensoren, die bei 100.000 Regentropfen reagieren,
> binomialverteilt mit Parametern n=Zahl der Sensoren und
> unbekanntem p.
> Nun kann man einfach so argumentieren, dass man das
> Ergebnis des ersten Versuchs nutzt, [mm]p=\frac{18}{22}[/mm] zu
> schätzen und damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für
> das Ergebnis des zweiten Versuchs bekommt, dh. die Zahl der
> verbleibenden Sensoren, die beim zweiten Versuch
> anschlagen, ist binomialverteilt mit Parametern n=4 und
> [mm]p=\frac{18}{22}[/mm].
> Auch die Argumentation mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
> fürht zum gleichen Ergebnis, wenn man annimmt, dass die
> Zahl [mm]X\sim b_{22;p}[/mm] der im ersten versuch reagierenden und
> die Zahl [mm]Y\sim b_{4;p}[/mm] der im zweiten Versuch reagierenden
> Sensoren unabhängig sind mit gleichem p. Damit kann das
> Ergebnis des ersten versuchs nur dazu dienen, eine
> Schätzung für das unbekannte p zu bekommen.
> Nun könnte man natürlich auch argumentieren, dass die 4
> Sensoren im ersten Versuch nicht reagiert haben, weil ihr
> Standort etwas geschützter war, dann würde alles anders
> ...
Es gehört natürlich zu den Voraussetzungen des Gedanken-
experiments, dass alle Sensoren dem Regen gleichermaßen
ausgesetzt sind.
Danke, donquijote , für die Antwort !
Diese Betrachtungsweise ist sicher (näherungsweise)
zuläßig, da 100'000 schon eine recht große Zahl ist -
und wer zählt realistischerweise schon Regentropfen ?
Ersetzt man aber die n= 100'000 durch eine kleine Zahl,
zum Beispiel n=18, dann ändert sich die Situation gründlich.
Deshalb suchte ich zunächst nach einer "exakten" Lösung,
die offensichtlich um einiges komplexer wäre, effektiv
aber bei großem n nur minimale Änderungen ergeben
würde.
Um die Aufgabe etwas trickier (verflixter) zu machen,
sollte ich sie vielleicht so formulieren:
" ......
......
Nachdem die Versuchsfläche von 180'000 Regentropfen
getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4
übrigen wurden also noch nicht getroffen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren
40'000 gefallenen Tropfen (wenn also insgesamt 220'000
Tropfen gefallen sind) alle 22 Sensoren im Zustand 1
sind ? "
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Do 17.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> > > Auf einer Versuchsfläche im Freien werden 22 kleine
> > > identische Regensensoren aufgestellt. Jeder von ihnen hat
> > > oben einen kleinen "Teller", der beim Auftreffen des ersten
> > > Regentropfens reagiert und den Sensor vom Zustand 0 (noch
> > > nicht getroffen) in den Zustand 1 (mindestens einmal
> > > getroffen) bringt. Weitere "Treffer" haben keinen Einfluss
> > > mehr.
> > > Zu Versuchsbeginn sind alle Sensoren im Zustand 0 .
> > > Nachdem die Versuchsfläche von 100'000 Regentropfen
> > > getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4
> > > übrigen wurden also noch nicht getroffen.
> > >
> > > Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren
> > > 100'000 gefallenen Tropfen alle 22 Sensoren im Zustand 1
> > > sind ?
> > > Hallo,
> > >
> > > auf diese Frage bin ich im Zusammenhang mit einer
> > > Computer-
> > > simulation gestoßen.
> > > Nun bin ich noch nicht darauf gekommen, wie man
> diese
> > > Aufgabe am elegantesten löst.
> > >
> > > LG Al-Chw.
> > Hallo,
> > für mich scheint der einzig sinnvolle Ansatz zu sein,
> > diese Wahrscheinlichkeit als [mm]\left(\frac{18}{22}\right)^4[/mm]
> > zu schätzen. Denn:
> > Wenn das "Anschlagen" der verschiedenen Sensoren
> > unabhängig voneinander geschieht, ist die Zahl der
> > Sensoren, die bei 100.000 Regentropfen reagieren,
> > binomialverteilt mit Parametern n=Zahl der Sensoren und
> > unbekanntem p.
> > Nun kann man einfach so argumentieren, dass man das
> > Ergebnis des ersten Versuchs nutzt, [mm]p=\frac{18}{22}[/mm] zu
> > schätzen und damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für
> > das Ergebnis des zweiten Versuchs bekommt, dh. die Zahl der
> > verbleibenden Sensoren, die beim zweiten Versuch
> > anschlagen, ist binomialverteilt mit Parametern n=4 und
> > [mm]p=\frac{18}{22}[/mm].
> > Auch die Argumentation mit bedingten
> Wahrscheinlichkeiten
> > fürht zum gleichen Ergebnis, wenn man annimmt, dass die
> > Zahl [mm]X\sim b_{22;p}[/mm] der im ersten versuch reagierenden und
> > die Zahl [mm]Y\sim b_{4;p}[/mm] der im zweiten Versuch reagierenden
> > Sensoren unabhängig sind mit gleichem p. Damit kann das
> > Ergebnis des ersten versuchs nur dazu dienen, eine
> > Schätzung für das unbekannte p zu bekommen.
> > Nun könnte man natürlich auch argumentieren, dass die
> 4
> > Sensoren im ersten Versuch nicht reagiert haben, weil ihr
> > Standort etwas geschützter war, dann würde alles anders
> > ...
>
Hallo Al-Chwarizmi,
> Es gehört natürlich zu den Voraussetzungen des Gedanken-
> experiments, dass alle Sensoren dem Regen gleichermaßen
> ausgesetzt sind.
>
selbst wenn, es gibt sicher minimale Unterschiede (z.B. wegen Luftströmumgen, kleiner Verschmutzung einzelner Sensoren etc) und ich würde mir, wenn ich die praktische Aufgabe hätte, eine solche Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, darüber Gedanken machen.
Aber bleiben wir bei der idealisierenden Annahme, dass für alle Sensoren die Reaktionswahrscheinoichkeit gleich ist.
>
>
>
>
> Danke, donquijote , für die Antwort !
>
> Diese Betrachtungsweise ist sicher (näherungsweise)
> zuläßig, da 100'000 schon eine recht große Zahl ist -
> und wer zählt realistischerweise schon Regentropfen ?
>
> Ersetzt man aber die n= 100'000 durch eine kleine Zahl,
> zum Beispiel n=18, dann ändert sich die Situation
> gründlich.
> Deshalb suchte ich zunächst nach einer "exakten"
> Lösung,
> die offensichtlich um einiges komplexer wäre, effektiv
> aber bei großem n nur minimale Änderungen ergeben
> würde.
>
Ich glaube nicht, dass man es wirklich nennenswert besser machen könnte. Egal welches Modell du benutzt, die zugrunde liegenden Parameter sind erstmal unbekannt. Und zur Schätzung der Parameter hast du nur eine einzige Beobachtung zur Verfügung, dadurch scheiden "komplizierte" Modelle erstmal aus.
> Um die Aufgabe etwas trickier (verflixter) zu machen,
> sollte ich sie vielleicht so formulieren:
>
> " ......
> ......
>
> Nachdem die Versuchsfläche von 180'000 Regentropfen
> getroffen wurde, sind 18 der Sensoren im Zustand 1. Die 4
> übrigen wurden also noch nicht getroffen.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach weiteren
> 40'000 gefallenen Tropfen (wenn also insgesamt 220'000
> Tropfen gefallen sind) alle 22 Sensoren im Zustand 1
> sind ? "
>
> LG Al
Unter den gemachten Annahmen gibt es eine Wahrscheinlichkeit [mm] p_1, [/mm] mit der ein Tropfen einen bestimmten Sensor auslöst. Dieses [mm] p_1 [/mm] ist für alle Tropfen und Sensoren gleich (ok, die Ereignisse sind nicht unabhängig, da ein Tropfen, der Sensor x trifft, nicht mehr den Sensor y auslösen kann, aber ich denke, das kann man vernachlässigen).
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sensor, von m Tropfen ausgelöst zu werden, gleich [mm] $p_m=1-(1-p_1)^n$.
[/mm]
Wie ich schon vorher geschrieben habe, ist die Zahl der von m Tropfen ausgelösten Sensoren binomialverteilt mit Parametern n = "Zahl der vorher noch nicht ausgelösten Sensoren" und [mm] p_m.
[/mm]
Alles hängt also nur von der unbekannten "Grundwahrscheinlichkeit" [mm] p_1 [/mm] ab. Und um [mm] p_1 [/mm] zu schätzen, steht nur die daten (Zahl der ausgelösten Sensoren) des ersten Versuches zur Verfügung. Und damit ist die naheliegende Schätzung nunmal [mm] $p_{180.000}=\frac{18}{22}$, [/mm] woraus [mm] $p_1$ [/mm] berechnet werden kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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