W'Raum und Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Fr 15.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo!
Sei [mm] $(\IR,B,\mu) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein a mit [mm] \mu([-a,a])>1-\epsilon.
[/mm]
Setze [mm] a>(1-\epsilon)/2. [/mm] Dann gilt [mm] \mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon
[/mm]
Passt das oder mache ich hier einen Fehler?
Dankeschön!
Viele Grüße
James
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:28 Fr 15.05.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Sei [mm]$(\IR,B,\mu)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für
> alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]
Ich nehme an, dass $a >0$ sein soll.
>
> Setze [mm]a>(1-\epsilon)/2.[/mm] Dann gilt
> [mm]\mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also immer $ [mm] \le [/mm] 1$.
Bei Dir ist [mm] $\mu([-a,a])=2a$. [/mm] Für $a >1/2$ würde das bedeuten: [mm] \mu([-a,a])>1, [/mm] was nicht geht.
Woher hast Du denn [mm] $\mu([-a,a])=2*a$ [/mm] ?
Noch eine Frage: was ist B in [mm] $(\IR,B,\mu) [/mm] $ ? Welche [mm] $\sigma-$ [/mm] Algebra ?
>
> Passt das oder mache ich hier einen Fehler?
>
> Dankeschön!
>
> Viele Grüße
> James
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Fr 15.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Fred und vielen Dank auch hier für deine Hilfe!
> > Sei [mm]$(\IR,B,\mu)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige, für
> > alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]
>
> Ich nehme an, dass [mm]a >0[/mm] sein soll.
Das steht nicht in der Aufgabe, aber das sollte wohl so sein.
> > Setze [mm]a>(1-\epsilon)/2.[/mm] Dann gilt
> > [mm]\mu([-a,a])=2*a>2*(1-\epsilon)/2=1-\epsilon[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also immer [mm]\le 1[/mm].
>
> Bei Dir ist [mm]\mu([-a,a])=2a[/mm]. Für [mm]a >1/2[/mm] würde das
> bedeuten: [mm]\mu([-a,a])>1,[/mm] was nicht geht.
Stimmt :(
> Woher hast Du denn [mm]\mu([-a,a])=2*a[/mm] ?
Ich dachte da an das Lebesque-Maß und eine Überdeckung, aber das macht nicht viel Sinn, denn es muss ja für alle Maße gelten.
> Noch eine Frage: was ist B in [mm](\IR,B,\mu)[/mm] ? Welche [mm]\sigma-[/mm]
> Algebra ?
Die denke, dass damit die [mm] Borelsche-\sigma-Algebra [/mm] gemeint ist.
Tut mir leid für die ungenaue Aufgabenstellung, diese steht aber genau so da. Ich hoffe, du kannst mir jetzt einen Tipp geben! :)
Viele Grüße
James
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Hiho,
gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.
Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $A_n [/mm] := [-n,n]$
Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese Folge?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Fr 15.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Gono! 
> gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm]\mathcal{B}[/mm] zu
> schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.
Sorry!
> Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] definiert
> durch [mm]A_n := [-n,n][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese
> Folge?
Dann ist $\IR = \bigcup_{n\in\IN}[-n,n]}=\bigcup_{n\in\IN}A_n$, wobei $(A_n)_n$ eine aufsteigende Folge ist, somit $\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\IR)$.
Nun ist aber \mu ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also gilt $\mu(\IR)=1$.
Nun ist mir klar, dass $1>1-\epsilon$ für alle \epsilon>0 gilt, aber das heißt, ich müsste ich jetzt a genau wählen?
> Zeige, für alle $ \epsilon>0 $ gibt es ein a mit $ \mu([-a,a])>1-\epsilon. $
Danke Dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 15.05.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gono!
>
> > gewöhn dir mal an, dass Borel-B als [mm]\mathcal{B}[/mm] zu
> > schreiben. So steht es bestimmt auch auf deinem Zettel.
>
> Sorry!
>
> > Dann: Betrachte die Mengenfolge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] definiert
> > durch [mm]A_n := [-n,n][/mm]
> >
> > Was sagt jetzt dir Stetigkeit des Maßes über diese
> > Folge?
>
> Dann ist [mm]\IR = \bigcup_{n\in\IN}[-n,n]}=\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm],
> wobei [mm](A_n)_n[/mm] eine aufsteigende Folge ist, somit
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\IR)[/mm].
> Nun ist aber [mm]\mu[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß, also gilt
> [mm]\mu(\IR)=1[/mm].
>
> Nun ist mir klar, dass [mm]1>1-\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0[/mm]
> gilt, aber das heißt, ich müsste ich jetzt a genau
> wählen?
Nein, genau wählen verlangt niemand. Zeigen sollst Du, dass es ein a mit den gewünschten Eigenschaften gibt.
Wir haben: $ [mm] \mu(A_n) \to [/mm] 1$.
Ist nun $ [mm] \epsilon> [/mm] 0$, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
$1- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \mu(A_n)< 1+\epsilon$ [/mm] for alle $n >N.$
Insbesondere: [mm] $\mu(A_n) [/mm] > 1- [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n > N$.
Nun kannst Du jedes $a=n$ mit $n>N$ nehmen. Such Dir eines aus. Ich würdr z.B. N+4711 nehmen. Und Du ?
>
> > Zeige, für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein a mit
> [mm]\mu([-a,a])>1-\epsilon.[/mm]
>
> Danke Dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 15.05.2020 | | Autor: | James90 |
Super, danke euch beiden! Damit ist die Aufgabe gelöst!
In einem anderen Skript habe ich eine ähnliche Aufgabe gefunden, aber leider ohne Lösungsweg.
Gerne würde ich diese als Übung lösen, weil mir das mit den Borel-Mengen noch nicht ganz klar zu sein scheint.
Sei [mm] $(\IR,\mathcal{B},\mu)$ [/mm] ein Maßraum mit [mm] $\mu((0,1))>0. [/mm] Zeige: Es existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] \mu((\epsilon,1-\epsilon))>0.
[/mm]
Meine Idee wäre sowas wie
[mm] (0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]
[/mm]
Dann würde der Rest analog folgen.
Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?
Vielen Dank nochmal und noch ein schönes Wochenende!
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Hiho,
> Meine Idee wäre sowas wie
>
> [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}][/mm]
Ja, für den Beweis solltest du lieber
[mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)[/mm]
nehmen. (warum?)
> Dann würde der Rest analog folgen.
Ja, mit obiger Anmerkung.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 18.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Gono!
> > [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}][/mm]
> Ja, für den Beweis solltest du lieber
> [mm](0,1)=\bigcup_{n\in\IN}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)[/mm]
> nehmen. (warum?)
Leider kann ich den Grund nicht erkennen:
Sei [mm] $\mu$ [/mm] ein Maß auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] und es gelte [mm] $\mu((0,1))>0$.
[/mm]
Zu zeigen: Es existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $\mu((\delta,1-\delta))>0$.
[/mm]
Setze [mm] $D_n:=[1/n,1-1/n]$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann ist [mm] $(D_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine aufsteigende Folge von Mengen aus [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $(0,1)=\bigcup_{n\in\IN}D_n$.
[/mm]
Mit der [mm] $\sigma$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $\mu$ [/mm] von unten erhalten wir [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0.
[/mm]
Sei nun [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\mu(D_n)>\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes überlegt:
Sei [mm] $\mu$ [/mm] ein Maß auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] und es gelte [mm] $\mu([0,1])>0$,
[/mm]
Dann gibt es kein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $\mu([\delta,1-\delta])>0$.
[/mm]
Kann das sein?
Ich wünsche dir einen guten Start in die Woche!
Viele Grüße
James
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Hiho,
> Mit der [mm]\sigma[/mm]-Stetigkeit von [mm]\mu[/mm] von unten erhalten wir
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0.[/mm]
> Sei nun [mm]\epsilon>0[/mm]. Dann existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> [mm]\mu(D_n)>\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].
Ach wirklich?
Ich wähle jetzt [mm] $\varepsilon [/mm] = 1000$ und [mm] $\mu [/mm] = [mm] \lambda$. [/mm] Dann findest du bestimmt kein solches [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Versuch deine Argumentation mal selbst zu beheben.
> Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes überlegt:
>
> Sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] und es gelte
> [mm]\mu([0,1])>0[/mm],
> Dann gibt es kein [mm]\delta>0[/mm] mit [mm]\mu([\delta,1-\delta])>0[/mm].
Na für das Lebesgue-Maß [mm] \lambda [/mm] gilt offensichtlich [mm] $\lambda([0,1]) [/mm] > 0$ und offensichtlich für jedes $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] auch [mm] $\lambda([\delta,1-\delta])>0$
[/mm]
D.h. deine Aussage ist falsch.
Aber: Es muss so ein [mm] \delta [/mm] nicht notwendigerweise geben, das ist korrekt. Bspw. wenn wir [mm] $\mu [/mm] = [mm] \delta_0$, [/mm] also das Dirac-Maß, wählen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mo 18.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Gono,
vielen Dank auch hier wieder für deine Hilfe!
> > Mit der [mm]\sigma[/mm]-Stetigkeit von [mm]\mu[/mm] von unten erhalten wir
> > [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\mu((0,1))>0.[/mm]
> > Sei nun [mm]\epsilon>0[/mm]. Dann existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> > [mm]\mu(D_n)>\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].
>
> Ach wirklich?
> Ich wähle jetzt [mm]\varepsilon = 1000[/mm] und [mm]\mu = \lambda[/mm]. Dann
> findest du bestimmt kein solches [mm]n\in\IN[/mm].
Du meinst hier [mm] N\in\IN, [/mm] oder?
> Versuch deine Argumentation mal selbst zu beheben.
Ich sehe jetzt endlich Problem mit dem abgeschlossen Intervall ...
Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |\mu(D_n)-\mu((0,1))|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Also:
Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] \mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Nun habe ich lange probiert ein [mm] \delta>0 [/mm] zu finden, aber ich komme nicht auf drauf. Ich habe probiert sowas wie [mm] \delta:=\epsilon+\mu((0,1)) [/mm] oder [mm] \delta=\max\{\epsilon,\mu((0,1))\} [/mm] mit Fallunterscheidung auf beiden Seiten der linken Ungleichung hinzuzufügen, aber das hat leider alles nicht geklappt. Ich bitte um einen weiteren Ruck!
> > Aufgrund deiner Frage habe ich mir auch folgendes
> überlegt:
> >
> > Sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] und es gelte
> > [mm]\mu([0,1])>0[/mm],
> > Dann gibt es kein [mm]\delta>0[/mm] mit
> [mm]\mu([\delta,1-\delta])>0[/mm].
>
> Na für das Lebesgue-Maß [mm]\lambda[/mm] gilt offensichtlich
> [mm]\lambda([0,1]) > 0[/mm] und offensichtlich für jedes [mm]0 < \delta < \frac{1}{2}[/mm]
> auch [mm]\lambda([\delta,1-\delta])>0[/mm]
> D.h. deine Aussage ist falsch.
> Aber: Es muss so ein [mm]\delta[/mm] nicht notwendigerweise geben,
> das ist korrekt. Bspw. wenn wir [mm]\mu = \delta_0[/mm], also das
> Dirac-Maß, wählen.
Coole Argumentation! Danke Dir!
Viele Grüße
James
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Hiho,
> Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> [mm]\mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon[/mm] für alle
> [mm]n\ge N[/mm].
Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{\mu((0,1))}{2}$, [/mm] dann steht da was?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mo 18.05.2020 | | Autor: | James90 |
Hallo Gono!
> > Für alle [mm]\epsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit
> > [mm]\mu((0,1))-\epsilon<\mu(D_n)<\mu((0,1))+\epsilon[/mm] für alle
> > [mm]n\ge N[/mm].
>
> Wähle [mm]\varepsilon = \frac{\mu((0,1))}{2}[/mm], dann steht da was?
Danke Dir!
Setze [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \mu((0,1))/2.
[/mm]
Dann ist [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] 0<\mu((0,1))<2\mu(D_n) [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Ferner [mm] \mu(D_n)>0 [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Somit folgt mit [mm] $\delta=1/N>0$ [/mm] die Behauptung.
Passt das?
Vielen Dank nochmal für deine super Hilfe!
Viele Grüße
James
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Hiho,
> Setze [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\mu((0,1))/2.[/mm]
> Dann ist [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]0<\mu((0,1))<2\mu(D_n)[/mm] für
> alle [mm]n\ge N[/mm].
Wenn N geeignet gewählt ist, ja.
> Ferner [mm]\mu(D_n)>0[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm].
Ja.
> Somit folgt mit [mm]\delta=1/N>0[/mm] die Behauptung.
Jo.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mi 20.05.2020 | | Autor: | James90 |
Danke Dir vielmals!
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