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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Fr 22.09.2006 | | Autor: | ivo82 |
Hallo,
[mm] X_{i} [/mm] sei die Regenmenge im Jahr i die an einem gegebenen Ort gemessen wurde. Es ist nun die Verteilung von Y der Anzahl an Jahren zu finden, bis der Wert [mm] x_{1} [/mm] aus dem ersten Jahr zum ersten mal überschritten wird. Bekannt ist die Dichtefunktion f(x), es darf von iid Beobachtungen ausgegangen werden. Weiters soll gezeigt werden, dass E(Y) unendlich ist.
Meine Idee war folgende [mm] (F(x_{1})=\integral_{0}^{x_{1}}{f(x) dx}): [/mm]
[mm] f(y)=F(x_{1})^{y-1}*(1-F(x_{1})).
[/mm]
Der Erwartungswert ist in diesem Fall aber [mm] (1-F(x_{1}))/(F(x_{1})-1)^{2}, [/mm] also nicht unendlich.
Im Kurs haben wir das Beispiel dann anhand einer ominösen Rekord-Theorie "erklärt" bekommen, es gilt demnach f(y)=1/y*(y-1) und
[mm] E(Y)=\summe_{y=2}^{\infty}1/(y-1)=\infty
[/mm]
Kann mir das bitte wer erklären, wo liegt der Fehler in meiner Lösung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Sa 23.09.2006 | | Autor: | jbulling |
Hi ivo82,
was ist denn bei Dir i und was ist y?
Kann es evtl. sein, dass Du beim Eingeben der Frage die Variablen vertauscht hast?
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mo 25.09.2006 | | Autor: | ivo82 |
i und y stehen in Beziehung, nämlich: y=i-1
i ist einfach nur der Index von x (Regenmenge), y die Anzahl der Jahre die zwischen den Messungen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{i} [/mm] vergehen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Sa 23.09.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo ivo82,
was du mit $ [mm] f(y)=F(x_{1})^{y-1}\cdot{}(1-F(x_{1}))$ [/mm] bezeichnest, ist nie und nimmer eine Dichte. Ueberhaupt steckt deine Anfrage so voller Ungereimtheiten, dass mir eine Antwort unmoeglich erscheint.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 25.09.2006 | | Autor: | ivo82 |
Es tut mir leid wenn ich die Frage nicht klar genug gestellt habe, allerdings verstehe ich nicht was daran so unklar ist?
Ich versuchs einfach noch einmal:
[mm] F(x_{1}) [/mm] steht für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Regenmenge x kleiner gleich [mm] x_{1}, [/mm] der Regenmenge im ersten Jahr gemessen wird (Verteilungsfunktion von X an der Stelle [mm] x_{1}).
[/mm]
Die Anzahl der Jahre Y ergibt sich dadurch dass in den Jahren nach der Messung [mm] x_{1} [/mm] jeweils Werte (z.B. [mm] x_{2},x_{3},...) [/mm] geringer als [mm] x_{1} [/mm] gemessen werden und dann irgendwann ein Wert größer als [mm] x_{1}, [/mm] die Wahrscheinlichkeit für diese letzte Realisation ist [mm] 1-F(x_{1}), [/mm] die Gegenwahrscheinlichkeit.
Daher war mein Vorschlag für die Dichte von Y:
[mm] P(x_{i}\le x_{1})^{y-1}\*P(x_{i}>x_{1})
[/mm]
Es gilt außerdem:
[mm] \summe_{y=1}^{\infty}P(x_{i}\le x_{1})^{y-1}\*P(x_{i}>x_{1})=1
[/mm]
Ich hoffe dass jetzt eine Antwort möglich ist, verstehe nämlich nach wie vor nicht was an meinem Ansatz falsch ist und vor allem wie die offizielle Lösung des Beispiels (siehe oben) zustande kommt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 25.09.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo ivo82,
unklar war an deiner Beschreibung, was du mit $f$ meintest. Zum einen
ist $f$ die Dichte der stetig(!) verteilten Zufallsvariablen
[mm] $X_1,X_2,X_3,\dots$, [/mm] spaeter bezeichnest du mit $f$ die
Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskret(!) verteilten Zufallsvariablen
$Y$. Sowas verwirrt einen alten Mann, leider  .
An und fuer sich hast du Recht mit deinem Ansatz, wenn du annehmen
kannst, dass die Zahl [mm] $x_1$ [/mm] *fest vorgegeben$ ist. Die von dir verlangte
Loesung deutet aber darauf hin, dass das nicht der Fall ist. Es ist
statt dessen die Zufallsvariable $Y$ zu betrachten mit
[mm] $(Y=2)=(X_2>X_1)$
[/mm]
[mm] $(Y=3)=(X_2\le X_1, X_3>X_1)$
[/mm]
[mm] $(Y=4)=(X_2\le X_1, X_3\le X_1, X_4>X_1)$
[/mm]
...
Wegen der Unabhaengigkeit gilt [mm] $P(Y=2)=P(X_2>X_1)=1/2$ [/mm] (das leistet deine
Loesung schon einmal nicht). Auf Grund kombinatorischer Ueberlegungen
gelange ich ebenfalls zu [mm] $P(Y=y)=1/(y\times(y-1))$ [/mm] fuer [mm] $y=2,3,4,\dots$
[/mm]
hth
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