Vorzeichenwechsel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 05.09.2012 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
mich würde generell mal folgendes intressieren, und zwar wenn ich bei einer Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] , welche beliebig oft stetig differenzierbar ist, ein [mm] x_{0} [/mm] finde, welches die Bedingung erfüllt, dass [mm] f'(x_{0})=0 [/mm] ist und bei diesem [mm] x_{0} [/mm] liegt eine (lokale) Extremstelle vor, wieso ist dann ein Vorzeichenwechsel an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] nicht auch ein notwendiges Kriterium? Rein von meiner Logik her müsste doch für eine Extremstelle bei [mm] x_{0} [/mm] der Graph der Funktion links von [mm] x_{0} [/mm] fallen und rechts davon steigen oder genau umgekehrt, was in beiden Fällen bei der Ableitung doch für einen Vorzeichenwechsel an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] sorgen würde? Ich würde daher auch schließen, dass in den Fällen, wo kein Vorzeichenwechsel erfolgt, ein Sattelpunkt vorliegen muss. Wo also liegt mein Denkfehler?
Ich hoffe irgendwer kann mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> mich würde generell mal folgendes intressieren, und zwar
> wenn ich bei einer Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] , welche beliebig
> oft stetig differenzierbar
beliebig oft stetig differenzierbar fällt zusammen mit beliebig oft
differenzierbar. Warum? (Bei endlich oft differenzierbar unterscheiden
sich die beiden Begriffe, also [mm] "$n\,$ [/mm] mal differenzierbar" ist schwächer als
[mm] "$n\,$ [/mm] mal stetig differenzierbar"!)
> ist, ein [mm]x_{0}[/mm] finde, welches
> die Bedingung erfüllt, dass [mm]f'(x_{0})=0[/mm] ist und bei diesem
> [mm]x_{0}[/mm] liegt eine (lokale) Extremstelle vor, wieso ist dann
> ein Vorzeichenwechsel
Vorzeichenwechsel bzgl. welcher Funktion? Du meinst sicherlich den
Vorzeichenwechsel von [mm] $f\,'$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] oder?
> an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] nicht auch ein
> notwendiges Kriterium? Rein von meiner Logik her müsste
> doch für eine Extremstelle bei [mm]x_{0}[/mm] der Graph der
> Funktion links von [mm]x_{0}[/mm] fallen und rechts davon steigen
> oder genau umgekehrt, was in beiden Fällen bei der
> Ableitung doch für einen Vorzeichenwechsel an der Stelle
> [mm]x_{0}[/mm] sorgen würde? Ich würde daher auch schließen, dass
> in den Fällen, wo kein Vorzeichenwechsel erfolgt, ein
> Sattelpunkt vorliegen muss. Wo also liegt mein Denkfehler?
> Ich hoffe irgendwer kann mir weiterhelfen, vielen Dank
> schon mal im voraus.
Da verstehe ich die Frage nicht: Wenn Dein [mm] $\infty$ [/mm] oft diff'bares
[mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] eine Extremstelle hat, so gilt sicher [mm] $f'(x_0)=0\,.$
[/mm]
Wenn nun aber [mm] $x_0$ [/mm] eine Stelle aus dem Definitionsbereich von
[mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] ist, so ist das alleine natürlich noch nicht hinreichend
dafür, dass [mm] $x_0$ [/mm] auch Extremstelle ist. (Standardbeispiel [mm] $f_u(x)=x^u$
[/mm]
für ungerade [mm] $u\,,$ [/mm] als Funktion(en) [mm] $\IR \to \IR\,$ [/mm] - offenbar gilt dann
[mm] $f_u'(0)=0\,,$ [/mm] aber [mm] $0\,$ [/mm] ist keine Extremstelle.)
Wenn Du nun aber neben [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] auch nachweisen kannst, dass
[mm] $f\,'$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einen Vorzeichenwechsel hat, so folgt daraus,
dass [mm] $x_0$ [/mm] Extremstelle ist. Deine Überlegungen sind da richtig, zumal
man aus dem Vorzeichen der Ableitung (links bzw. rechts nahe [mm] $x_0\,$) [/mm]
auch "das lokale Monotonieverhalten nahe [mm] $x_0\,,$ [/mm] und zwar links bzw.
rechts nahe [mm] $x_0$" [/mm] (man könnte es einseitiges lokales Monotonieverhalten
nennen) folgern kann.
Ich kann mir nur vorstellen, dass Du hier irgendwo mit den Begriffen
"hinreichend" bzw. "notwendig" durcheinandergekommen bist bzw.
diese verwechselt hast.
Aber dass Deine Überlegungen stimmen, kannst Du auch
![[]](/images/popup.gif) hier (klick me!)
nachlesen.
Prinzipiell sind das ja auch die gleichen Überlegungen, die man etwa bei
der Aussage
[mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f''(x_0) [/mm] > 0 [mm] \;\;\Rightarrow x_0 \text{ ist lok. Minimalstelle}$
[/mm]
anstellt. Weil [mm] $f''(x_0) [/mm] > 0$ ist findet an [mm] $x_0$ [/mm] - wenn man "von links nach
rechts läuft" ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt. Also ist
$f'$ "links nahe an [mm] $x_0$ [/mm] streng monoton fallend" und "rechts nahe an [mm] $x_0$ [/mm] streng wachsend". Also ist [mm] $x_0$ [/mm] lokale Minimalstelle.
Gruß,
Marcel
monoton "
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 05.09.2012 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo,
> beliebig oft stetig differenzierbar fällt zusammen mit
> beliebig oft
> differenzierbar. Warum? (Bei endlich oft differenzierbar
> unterscheiden
> sich die beiden Begriffe, also "[mm]n\,[/mm] mal differenzierbar"
> ist schwächer als
> "[mm]n\,[/mm] mal stetig differenzierbar"!)
>
> > ist, ein [mm]x_{0}[/mm] finde, welches
> > die Bedingung erfüllt, dass [mm]f'(x_{0})=0[/mm] ist und bei diesem
> > [mm]x_{0}[/mm] liegt eine (lokale) Extremstelle vor, wieso ist dann
> > ein Vorzeichenwechsel
>
> Vorzeichenwechsel bzgl. welcher Funktion? Du meinst
> sicherlich den
> Vorzeichenwechsel von [mm]f\,'[/mm] an der Stelle [mm]x_0\,,[/mm] oder?
Ja genau
>
> > an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] nicht auch ein
> > notwendiges Kriterium? Rein von meiner Logik her müsste
> > doch für eine Extremstelle bei [mm]x_{0}[/mm] der Graph der
> > Funktion links von [mm]x_{0}[/mm] fallen und rechts davon steigen
> > oder genau umgekehrt, was in beiden Fällen bei der
> > Ableitung doch für einen Vorzeichenwechsel an der Stelle
> > [mm]x_{0}[/mm] sorgen würde? Ich würde daher auch schließen, dass
> > in den Fällen, wo kein Vorzeichenwechsel erfolgt, ein
> > Sattelpunkt vorliegen muss. Wo also liegt mein Denkfehler?
> > Ich hoffe irgendwer kann mir weiterhelfen, vielen Dank
> > schon mal im voraus.
>
> Da verstehe ich die Frage nicht: Wenn Dein [mm]\infty[/mm] oft
> diff'bares
> [mm]f\,[/mm] an [mm]x_0[/mm] eine Extremstelle hat, so gilt sicher
> [mm]f'(x_0)=0\,.[/mm]
> Wenn nun aber [mm]x_0[/mm] eine Stelle aus dem Definitionsbereich
> von
> [mm]f\,[/mm] mit [mm]f'(x_0)=0[/mm] ist, so ist das alleine natürlich noch
> nicht hinreichend
> dafür, dass [mm]x_0[/mm] auch Extremstelle ist. (Standardbeispiel
> [mm]f_u(x)=x^u[/mm]
> für ungerade [mm]u\,,[/mm] als Funktion(en) [mm]\IR \to \IR\,[/mm] -
> offenbar gilt dann
> [mm]f_u'(0)=0\,,[/mm] aber [mm]0\,[/mm] ist keine Extremstelle.)
> Wenn Du nun aber neben [mm]f'(x_0)=0[/mm] auch nachweisen kannst,
> dass
> [mm]f\,'[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Vorzeichenwechsel hat, so
> folgt daraus,
> dass [mm]x_0[/mm] Extremstelle ist. Deine Überlegungen sind da
> richtig, zumal
> man aus dem Vorzeichen der Ableitung (links bzw. rechts
> nahe [mm]x_0\,[/mm])
> auch "das lokale Monotonieverhalten nahe [mm]x_0\,,[/mm] und zwar
> links bzw.
> rechts nahe [mm]x_0[/mm]" (man könnte es einseitiges lokales
> Monotonieverhalten
> nennen) folgern kann.
>
> Ich kann mir nur vorstellen, dass Du hier irgendwo mit den
> Begriffen
> "hinreichend" bzw. "notwendig" durcheinandergekommen bist
> bzw.
> diese verwechselt hast.
>
> Aber dass Deine Überlegungen stimmen, kannst Du auch
>
> hier (klick me!)
>
> nachlesen.
>
> Prinzipiell sind das ja auch die gleichen Überlegungen,
> die man etwa bei
> der Aussage
>
> [mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x_0) > 0 \;\;\Rightarrow x_0 \text{ ist lok. Minimalstelle}[/mm]
>
> anstellt. Weil [mm]f''(x_0) > 0[/mm] ist findet an [mm]x_0[/mm] - wenn man
> "von links nach
> rechts läuft" ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus
> statt. Also ist
> [mm]f'[/mm] "links nahe an [mm]x_0[/mm] streng monoton fallend" und "rechts
> nahe an [mm]x_0[/mm] streng wachsend". Also ist [mm]x_0[/mm] lokale
> Minimalstelle.
Das ist schon klar, was du schreibst.
Jedoch die Frage war so gemeint, wie ich sie gestellt hab, nochmal zur Verdeutlichung: Ich habe eine beliebig oft differenzierbare Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und [mm] f'(x_{0})=0. [/mm] Nun hab ich gefragt, wieso ein Vorzeichenwechsel an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] bezüglich der ersten Ableitung lediglich hinreichend, aber scheinbar eben NICHT auch notwendig ist. Also es gibt scheinbar Funktionen mit [mm] f'(x_{0})=0, [/mm] die an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] bezüglich 1. Ableitung keinen VZW haben, jedoch an gleicher Stelle ein Extremum z.B. siehe Beispiele, da wird zum Beispiel f(x)= [mm] e^{\bruch{-1}{x^2}}*sin^2(\bruch{1}{x^2}) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 und f(x)=0 für x=0 angeführt und gesagt, dass die Funktion bei x=0 ein globales Minimum hat, jedoch bezüglich der ersten Ableitung an der Stelle keinen VZW, was meiner Logik völlig widerspricht?
Viele Grüße
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Hiho,
warum so kompliziert?
$f(x) = c, [mm] c\in\IR$ [/mm] ist beliebig oft differenzierbar, jede Stelle ist lokales Extremum, aber kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 05.09.2012 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> warum so kompliziert?
>
> [mm]f(x) = c, c\in\IR[/mm] ist beliebig oft differenzierbar, jede
> Stelle ist lokales Extremum, aber kein Vorzeichenwechsel
> der ersten Ableitung.
>
Danke, aber ich ging eher davon aus, dass die Funktion nicht konstant verläuft; der Fall hier war mir schon klar. Außerdem ist es für mich eine reine Definitionssache, ob man in dem Fall sagt, es gibt keine oder unendlich viele lokale Extrema ...
Für den Fall, dass eine Funktion nicht konstant verläuft, hab ich nach wie vor Verständnisprobleme...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> > warum so kompliziert?
> >
> > [mm]f(x) = c, c\in\IR[/mm] ist beliebig oft differenzierbar, jede
> > Stelle ist lokales Extremum, aber kein Vorzeichenwechsel
> > der ersten Ableitung.
> >
> Danke, aber ich ging eher davon aus, dass die Funktion
> nicht konstant verläuft; der Fall hier war mir schon klar.
> Außerdem ist es für mich eine reine Definitionssache, ob
> man in dem Fall sagt, es gibt keine oder unendlich viele
> lokale Extrema ...
wieso das? Ich kenne nur eine Definition, woraus sofort folgen
würde, dass eine (konstante) Funktion wie oben unendlich viele lokale
Extrema hat.
Welche Definition kennst Du? Wahrscheinlich einfach eine, wo
man "lokale Konstantheit" ausschließt?
> Für den Fall, dass eine Funktion nicht konstant
> verläuft, hab ich nach wie vor Verständnisprobleme...
Dann nimm' doch einfach das Beispiel von Wiki mit [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] und
[mm] $f(x):=\exp(-1/x^2)*\sin^2(1/x^2)$ [/mm] sonst. Die behaupteten Eigenschaften
solltest Du erstmal beweisen.
Nun zur "Vorstellung":
Nunja, [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] ist sicher [mm] $\le$ [/mm] jedem [mm] $f(x)\,.$ [/mm] Klar, oder? Was macht
der Graph der Funktion, wenn man auf die [mm] $0\,$ [/mm] zugeht? Naja, er wird
sicher "oszillieren" oder "schwingen" oder wie immer man das nennen will.
Die Abstände der Funktionswerte werden also auf jedem noch so kleinen
Intervall "nach oben und unten" laufen, deswegen gibt's kein kleinstes
Intervall rechts der Null, wo [mm] $f\,$ [/mm] ein Monotonieverhalten haben kann.
Oder anders gesagt: In jedem noch so kleinen Intervall "rechts der Null"
wird [mm] $f'\,$ [/mm] sicher unendlich viele Nullstellen haben. Grob' gesagt: Berechne
Dir mal [mm] $f\,'$ [/mm] und "schau' Dir die 'Verteilung' der Nullstellen von $f'$ nahe
der Null an".
Aber anscheinend schwanken die Funktionswerte nun doch wiederum nicht
so stark von der Null weg, dass die Differenzierbarkeit "in Frage gestellt
werden könnte". (Mir fällt gerade nicht ein, wie man meinen Gedanken
so formulieren kann, dass er das anschaulich widerspiegelt.)
So als grobe Orientierung:
Nimm' mal $h(0):=0$ und [mm] $h(x):=|x*\sin(1/x)|\,.$ [/mm] "Veranschaulische" Dir
mal am Graphen die Quotienten [mm] $(h(x)-0)/(x-0)\,$ [/mm] (Steigungsdreieck!) für
verschiedene, immer kleiner werdende [mm] $x\,.$ [/mm] Okay, ich gebe zu, dass
die Funktion an ihren Nullstellen außerhalb der Null gar nicht diffbar ist,
aber stell Dir halt vor, Du hättest sie dort "geglättet", wenn Du das
unbedingt haben willst - die "geglättete Funktion" heiße dann auch wieder
[mm] $h\,.$ [/mm] Jedenfalls wirst Du erkennen, dass und warum [mm] $h\,$ [/mm] (auch, wenn
es an den Nullstellen [mm] $\not=0$ [/mm] "geglättet" worden ist) sicher nicht diff'bar
an [mm] $0\,$ [/mm] sein wird.
Im Vergleich dazu betrachte die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] mit [mm] $g(0):=0\,$ [/mm] und sonst
[mm] $g(x):=|x^2*\sin(1/x)|\,,$ [/mm] meinetwegen wieder "geglättet in der
Vorstellung". Hier ist [mm] $g'(0)=0\,$ [/mm] - schau' Dir die "Steigungsdreiecke" an.
Also wie gesagt: Die Beispiele [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $h\,$ [/mm] sind sehr schlecht, da sie
eigentlich unendlich viele Nichtdifferenzierbarkeitsstellen haben.
(Insbesondere wäre natürlich z.B. selbst die Funktion mit [mm] $k(0)=0\,$ [/mm] - und
[mm] $k(x)=x^2*\sin(1/x)$ [/mm] sonst - nicht unendlich oft differenzierbar!)
Ich denke aber, dass man (sowohl [mm] $g\,$ [/mm] als auch [mm] $h\,$) [/mm] an den
Nichtdiff'barkeits-Stellen inklusive in einer jeweils zu der Stelle passenden
kleinen Umgebung zumindest so abändern könnte, dass diese neuen
Funktionen wenigstens dann dort differenzierbar werden.
Der "Grundgedanke", was bei der einen Funktion bzgl. der Diff'barkeit
an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] schiefgeht (bei [mm] $h\,$) [/mm] und warum das bei der anderen
(also [mm] $g\,$) [/mm] trotzdem gut geht, den versuche ich irgendwie zu vermitteln.
Wenn man das kapiert hat und sich dann "passende Oszillationen des
Graphen an einem Punkt zusammengestaucht" denken kann, dann weiß
man vermutlich, warum es auch Funktionen gibt, die an einer Stelle etwa
ein lokales Minimum haben, die Ableitung dort existiert und [mm] $=0\,$ [/mm] ist, aber
es in jeder noch so kleinen (sogar einseitigen) Umgebung ständig
Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion (auf dieser (einseitigen)
Umgebung) gibt!
Also prinzipiell muss man sich irgendwie sowas vorstellen wie eine
Funktion, deren Graph "passend oszillierend" auf einen Punkt zuläuft.
Es ist echt schwer, das in Worte zu fassen - ich befürchte schon fast, dass
es hier nun Unmengen an Missverständnissen geben wird, weil ich das
eventuell schlecht oder falsch beschrieben habe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nun hab ich gefragt, wieso ein Vorzeichenwechsel an der
> Stelle [mm]x_{0}[/mm] bezüglich der ersten Ableitung lediglich
> hinreichend, aber scheinbar eben NICHT auch notwendig ist.
ups ... ja ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , da bin ich irgendwie selbst mit Deiner Frage
durcheinander gekommen!
Gruß,
Marcel
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