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Hallo,
ich habe mal ne ganz allgemeine Frage. Wir sollen einen Induktionsbeweis einer Summe zeigen [mm] (\sum_{k=1}^{n} k^2=1/6 [/mm] n(n+1)(2n+1). Ok, soviel habe ich mitbekommen: Zuerst der Induktionsanfang. Hier setze ich einfach für n=1. Bei der Induktionsannahme dann einfach nochmal das was ich beweisen soll. Und beim Induktionsschluss schreibe ich [mm] \sum_{k=1}^{n+1} k^2
[/mm]
Aber wie gehts dann weiter? Bin ich eigentlich wirklich so blöd, dass ich das einfach nicht kapier?
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Beim Induktionsschluss gehst Du zu n+1, überall wo n steht wird n+1 eingesetzt, es entsteht also: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{2}=\bruch{1}{6}(n+1)*(n+2)*(2n+3)
[/mm]
jetzt muss die Gleichheit auf der linken und rechten Seite nachgewiesen werden. Die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{2} [/mm] läßt sich zerlegen in
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}= \bruch{1}{6}(n+1)*(n+2)*(2n+3)
[/mm]
Jetzt für die Summe die Induktionsvoraussetzung einsetzen, durch Auflösen der Klammern und Zusammenfassen die Gleichheit der linken und rechten Seite nachweisen, Viel Spass beim Fertigrechnen
Steffi21
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dankeschön schon einmal, bin ja schon mal froh das ich auf 1/6 (n+1) (n+2) (2n+3) gekommen bin 
Aber noch mal kurz: Warum kann ich bei der Induktionsvorraussetzung annehmen, dass die Formel stimmt? Ich muss diese doch gerade eben beweisen?! Ich kann doch nicht von etwas ausgehen, von dem ich nicht weiß ob es überhaupt war ist? Irgendwas hängt da bei mir...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 24.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Aber noch mal kurz: Warum kann ich bei der
> Induktionsvorraussetzung annehmen, dass die Formel stimmt?
> Ich muss diese doch gerade eben beweisen?! Ich kann doch
> nicht von etwas ausgehen, von dem ich nicht weiß ob es
> überhaupt war ist? Irgendwas hängt da bei mir...
Du hast ja im Induktionsanfang nachgewiesen, dass die Inuktionsannahme für n=1 richtig ist. Im Induktionsschluss zeigst Du: wenn die Behauptung für eine natürliche Zahl n gilt (das ist erstmal nur eine Annahme, darum gefällt mir die Bezeichnung Induktionsannahme besser als Induktionsvoraussetzung), dann gilt sie auch für die natürliche Zal n+1.
Damit setzt dann so etwas wie ein Dominoeffekt ein:
Für n=1 gilt die Induktionsannahme (das ist ja gerade der Induktionsanfang), also gilt sie nach Induktionsschluss auch für n=2.
Wenn sie aber für n=2 gilt, dann ja auch für n=3, dann auch für n=4 usw. und nach dem Induktionsaxiom für alle natürlichen Zahlen.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Di 24.10.2006 | | Autor: | Stadtwerk |
dankeschön euch zwei, habt mir schon ein bischen weitergeholfen
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