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| Aufgabe | | Wann schreibt man in die Formel [mm] \integral \integral \integral_{V}{f(x,y,z) dx dy dz} [/mm] eine Funktion? |
Hallo.
Die Formel für Volumsintegration lautet doch [mm] \integral \integral \integral_{V}{f(x,y,z) dx dy dz}. [/mm] Viele Male berechnet man das Volumen ausgehend von der Funktion f(x,y,z)=1. Man kommt dann aufgrund der Grenzen, die man durch Bedingungen erhält, zum Ergebnis. Doch wann baut man in die Formel eine Funktion ein??? Nur dann, wenn sie "explizit" gegeben wird? Oder gibt's da noch andre Gründe?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Hannes,
wenn du nur [mm] \red{eine} [/mm] 1 einsetzt, dann ist das nicht die ganze Wahrheit und zudem ist [mm] x^0*y^0*z^0=1*1*1=1=f(x,y,z) [/mm] eine Funktion.
Wie tief willst du gehen? Was ist eine Funktion und welche Art von Volumen beschreibst du mit deiner 1?
Liebe Grüße
Herby
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Naja, anschaulich zerlegst du deinen Raum doch in ganz viele kleine Würfelchen mit der Kandenlänge dx, dy, dz. Das heißt, so ein Würfel hat das Volumen dx*dy*dz. Beim Integrieren 'ohne Funktion' werden die Volumina aller Würfel, die innerhalb der Integralgrenzen (also innerhalb deines "3D-Körpers") liegen, aufaddiert, und du bekommst das Volumen des Körpers.
[mm] $V=\integral\integral\integral [/mm] dxdydz$
Jetzt ist dein Körper mit Öl gefüllt, das eine Dichte von 0,8 hat, und du willst wissen, wie schwer der Körper jetzt ist. Das heißt ja eigentlich, daß du das Volumen einfach mit 0,8 multiplizierst:
[mm] $m=0,8*\integral\integral\integral [/mm] dxdydz$
Was aber, wenns kein Öl ist, sondern etwas, das überall eine unterschiedliche Dichte hat?
Ja, dann zieht man die Dichte mit rein in das INtegral, das bedeutet anschaulich, daß du für jedes Würfelchen die MAsse aus seinem Volumen dxdydz und der Dichte an diesem Ort berechnest, und die unterschiedlichen MAssen nun aufaddierst. Beispielsweise ist die Dichte der Luft sowas wie [mm] $1-e^{-z}$, [/mm] denn mit steigender Höhe sinkt der Luftdruck.
Dann lautet dein Integral, um das Gewicht einer großen Luftmasse zu bestimmen, eben so:
[mm] $m=\integral\integral\integral 1-e^{-z} [/mm] dxdydz$
Natürlich kann man sich das nicht immer so erklären, aber ich denke, um das prinzipiell zu verstehen, reicht das erstmal, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 31.05.2007 | | Autor: | Braunstein |
Ja, danke, eure Beiträge reichen erstmal. Ich werde mich - wenn's noch fragen gibt - diesbezüglich melden. Doch mom. bin ich glücklich damit ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Gruß, h.
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