Volumensberechnung um y-Achse < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also, ich habe ziemliche Probleme mit diesem Beispiel:
Angabe:
Im Punkt T (2/4) der Parabel k: y² = 2px wird die Tangente t gelegt. Das Flächenstück, das von k, t und den Geraden mit den Gleichungen x= 0 und x= 8 begrenzt wird, rotiert um die a) x-Achse und b) y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
Also gut, das um die x-Achse habe ich ja noch geschafft.
Habe T in k eingesetzt:
16= 4p
p=4 --> y²=8x
dann in yy(T) = p *(x + x(T))
4y = 4*(x+2) --> y = x+2 --> y²= x² + 4x + 4
V(x) = [mm] \pi [/mm] [Integral von 0 bis 8] (x² + 4x+4 - 8x) * dx
[mm] \pi [/mm] *[(x³/3) - 2x²+ 4x] (Grenzen : 0 bis 8) = 224/3 * [mm] \pi [/mm] E³
ok, das stimmt auch, aber jetzt kommt der schwere Teil: die y-Achse:
gut, also zuerst hab ich mal x=0 und x= 8 in y= x+2 eingesetzt, um die neuen Grenzen: y= 2 und y= 10 zu bekommen.
danach habe ich die Parabel und die Gerade nach x² umgeformt...
par: x= y² / 8 --> x²= y(hoch 4) / 64
g: x= 2-y --> x² = 4 - 4y + y²
gut, dann habe ich mir gedacht ich muss es so rechnen:
Vy = [mm] \pi [/mm] [Integral von 2 bis 10] (4 - 4y + y² - y(hoch 4) / 64) *dy
Dieser Schritt kann aber nicht stimmen, da mir 2126/15 [mm] \pi [/mm] E³ rauskommt, obwohl
896/15 [mm] \pi [/mm] rauskommen soll....
kann mir bitte jemand sagen, wie ich das anders rechnen kann??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Andrea
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> Also, ich habe ziemliche Probleme mit diesem Beispiel:
> Angabe:
> Im Punkt T (2/4) der Parabel k: y² = 2px wird die
> Tangente t gelegt. Das Flächenstück, das von k, t und den
> Geraden mit den Gleichungen x= 0 und x= 8 begrenzt wird,
> rotiert um die a) x-Achse und b) y-Achse. Berechne das
> Volumen des entstehenden Drehkörpers.
>
> Also gut, das um die x-Achse habe ich ja noch geschafft.
> Habe T in k eingesetzt:
>
> 16= 4p
> p=4 --> y²=8x
>
> dann in yy(T) = p *(x + x(T))
>
> 4y = 4*(x+2) --> y = x+2 --> y²= x² + 4x + 4
>
> V(x) = [mm]\pi[/mm] [Integral von 0 bis 8] (x² + 4x+4 - 8x) *
> dx
> [mm]\pi[/mm] *[(x³/3) - 2x²+ 4x] (Grenzen : 0 bis 8) = 224/3 *
> [mm]\pi[/mm] E³
> ok, das stimmt auch, aber jetzt kommt der schwere Teil:
> die y-Achse:
>
> gut, also zuerst hab ich mal x=0 und x= 8 in y= x+2
> eingesetzt, um die neuen Grenzen: y= 2 und y= 10 zu
> bekommen.
>
> danach habe ich die Parabel und die Gerade nach x²
> umgeformt...
> par: x= y² / 8 --> x²= y(hoch 4) / 64
> g: x= 2-y --> x² = 4 - 4y + y²
>
> gut, dann habe ich mir gedacht ich muss es so rechnen:
> Vy = [mm]\pi[/mm] [Integral von 2 bis 10] (4 - 4y + y² - y(hoch 4)
> / 64) *dy
>
> Dieser Schritt kann aber nicht stimmen, da mir 2126/15 [mm]\pi[/mm]
> E³ rauskommt, obwohl
>
> 896/15 [mm]\pi[/mm] rauskommen soll....
>
> kann mir bitte jemand sagen, wie ich das anders rechnen
> kann??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Andrea
>
Aufgabe a kann ich nachvollziehen
Sie ist richtig .
Wäre es nicht am einfachsten jetzt die Umkehrfunktionen zu bilden?
Das hast du wohl auch schon gemacht sehe ich,
aber die grenzen sind falsch und du hast die begrenzung bei y=8 vergessen.
Wenn du die Funktionen mal skizzierst siehst du es .
[mm] v = \pi ( \integral_{0}^{8} {fu(x) dx} + \integral_{8}^{10} {8^2 dx} - \integral_{2}^{10} {gu(x) dx} )[/mm]
Gruss
Eberhard
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Kannst du mir bitte erläutern, was du mit "Umkehrfunktionen" meinst??
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genau das was du gemacht hast
die funktionen sind auch richtig nur die grenzen stimmen nicht.
ich schicke dir noch eine skizze etwas später.
Gruss
Eberhard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Könnten Sie mir vielleicht die richtigen Grenzen sagen?
Ist diese Skizze, die Sie jetzt angehängt haben die, die Sie schicken wollten?
Oder schicken Sie noch eine andere? Aus dieser werde ich nicht schlau....
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> Könnten Sie mir vielleicht die richtigen Grenzen sagen?
> Ist diese Skizze, die Sie jetzt angehängt haben die, die
> Sie schicken wollten?
> Oder schicken Sie noch eine andere? Aus dieser werde ich
> nicht schlau....
>
Die blauen Graphen entsprechen den Ursprungsfunktionen
Die roten den Umkehrfunktionen.
Bei der Rotation um die x - Achse beeinflusst die verbindung zwischen Gerade und Parabel das
Volumen nicht
Bei der Rotation um die Y- Achse aber doch sie wir zu [mm] y^2 [/mm] = 64 um in deiner Ausdrucksweise zu bleiben
in den Grenzen von 8 - 10 und muss als seperates Integral addiert werden.
Gruss
Eberhard
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:53 Mi 16.02.2005 | | Autor: | andrea1020 |
> Bei der Rotation um die Y- Achse aber doch sie wir zu [mm]y^2[/mm]
> = 64 um in deiner Ausdrucksweise zu bleiben
> in den Grenzen von 8 - 10 und muss als seperates Integral
> addiert werden.
Ich kenne mich bei Ihrer Antwort leider nicht aus. Was meinen Sie mit y² = 64???
Könnten Sie mir bitte die ganzen Teilintegrale und wovon ich sie nehmen muss, aufschreiben, damit ich auf das richtige Ergebnis komme?
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Vielleicht macht die eingefärbte Skizze das deutlicher.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
Eberhard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Diese Skizze hilft mir etwas weiter, kenne mich aber trotzdem nicht ganz aus...
also ich würde es jetzt so rechnen:
Vy= [mm] \pi* [/mm] [ integral von 0 bis 8 von der kurve minus dem integral von 2 bis 8 von der geraden]
aber mit dem teilintegral, das ich von 8 - 10 machen muss, kenne ich mich noch immer nicht aus, ich kann es einfach nicht verstehen, wie ich das ausrechnen kann...
HILFE bitte!
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[mm] v = \pi ( \integral_{0}^{8} {fu(x) dx} + \integral_{8}^{10} {8^2 dx} - \integral_{2}^{10} {gu(x) dx} ) [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
+
[Dateianhang nicht öffentlich]
-
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt klar?
Gruss
Eberhard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Do 17.02.2005 | | Autor: | andrea1020 |
Also, ja jetzt ist alles klar!
Dankeschön für Ihre Mühe und die Geduld!
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