Volumenintegral über x^2 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:49 So 23.01.2011 | | Autor: | benni33 |
| Aufgabe | Berechne das Volumen, das durch eine parabolische Kurve der Form [mm] y(x)=x^2 [/mm] aufgespannt wird, die man um die x-Achse dreht.
Nutze die Rotationssymmetrie NICHT. Betrachte von [mm] x_a=0 [/mm] bis [mm] x_b=x_0
[/mm]
Hinweis: [mm] \integral_{x^2}^{-x^2}{sqrt(x^4-y^2) dy} [/mm] = [mm] \pi [/mm] /2 [mm] x^4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
das ist mein erster Post und ich hoffe, dass ich nicht allzu viel falsch mache. Die Fragestellung
ist ja bereits klar. In der letzten Zeit haben wir die Linien, Flächen und Volumenintegrale
besprochen, sowie dafür die 1-Formen. Als letztes kam noch der Satz von Green und der Gaußsche
dazu. Ich gebe zu die Konzepte alle verstanden zu haben, das Rechnen selbst macht mir aber noch
ziemlich Probleme.
Jetzt aber mal zur Rechnung. Ich weiß, dass es falsch ist, nur ich weiß nicht warum. Wie gesagt,
das Rechnen ist noch so eine Sache.
Das Volumen Integral wurde wie folgt bei uns definiert:
[mm] \integral \integral \integral |\bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] * [mm] (\bruch{\partial r}{\partial y} \times \bruch{\partial r}{\partial z})| [/mm] dx dy dz
Jetzt habe ich das ganze als nächstes erstmal parametrisiert d.h. r= [mm] \vektor{x \\ x^2 \\ x^2}.
[/mm]
dadurch wird dy zu dy(x) dz zu dz(x) also
[mm] \integral_{0}^{x_0} \integral \integral |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}* (\vektor{0 \\ 2x \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0\\ 2x})| (dx)^3
[/mm]
=4* [mm] \integral \integral \integral x^2 (dx)^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{15} x^5+c [/mm] <- Stammfunktion
Über Rotationskörper erhalte ich im übrigen: [mm] \pi \bruch{1}{5} x^5
[/mm]
Also ab der Parametrisierung bin ich mir eig. nicht mehr sicher ob das überhaupt richtig ist mit diesem ersetzten von dx dy dz. Aber ich weiß auch nicht wirklich wie ich das anders mache soll. Lange Rede kurzer Sinn, ich hoffe ihr könnt mich so ein wenig aufklären, was ich da anders hätte machen sollen, bzw. was falsch ist.
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Hallo benni33,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne das Volumen, das durch eine parabolische Kurve der
> Form [mm]y(x)=x^2[/mm] aufgespannt wird, die man um die x-Achse
> dreht.
> Nutze die Rotationssymmetrie NICHT. Betrachte von [mm]x_a=0[/mm]
> bis [mm]x_b=x_0[/mm]
> Hinweis: [mm]\integral_{x^2}^{-x^2}{sqrt(x^4-y^2) dy}[/mm] = [mm]\pi[/mm] /2
> [mm]x^4[/mm]
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo alle zusammen,
> das ist mein erster Post und ich hoffe, dass ich nicht
> allzu viel falsch mache. Die Fragestellung
>
> ist ja bereits klar. In der letzten Zeit haben wir die
> Linien, Flächen und Volumenintegrale
>
> besprochen, sowie dafür die 1-Formen. Als letztes kam noch
> der Satz von Green und der Gaußsche
>
> dazu. Ich gebe zu die Konzepte alle verstanden zu haben,
> das Rechnen selbst macht mir aber noch
>
> ziemlich Probleme.
>
> Jetzt aber mal zur Rechnung. Ich weiß, dass es falsch ist,
> nur ich weiß nicht warum. Wie gesagt,
>
> das Rechnen ist noch so eine Sache.
>
> Das Volumen Integral wurde wie folgt bei uns definiert:
> [mm]\integral \integral \integral |\bruch{\partial r}{\partial x}[/mm]
> * [mm](\bruch{\partial r}{\partial y} \times \bruch{\partial r}{\partial z})|[/mm]
> dx dy dz
Diese Formel tritt doch nur dann auf, wenn das Volumenintegral
[mm]\integral \integral \integral \ dx \ dy \ dz[/mm]
einer Parametertransformamtion
[mm]r\left(u,v,w\right)=\pmat{x\left(u,v,w\right) \\ y\left(u,v,w\right) \\ z\left(u,v,w\right)}[/mm]
unterzogen wird:
[mm]\integral \integral \integral |\bruch{\partial r}{\partial u}
*(\bruch{\partial r}{\partial v} \times \bruch{\partial r}{\partial w})| \ du \ dv \ dw[/mm]
>
> Jetzt habe ich das ganze als nächstes erstmal
> parametrisiert d.h. r= [mm]\vektor{x \\ x^2 \\ x^2}.[/mm]
> dadurch
Bei Rotation um die x-Achse der Kurve [mm]y\left(x\right)=x^{2}[/mm]
entsteht doch ein Kreis mit diesem Radius in der yz-Ebene.
> wird dy zu dy(x) dz zu dz(x) also
>
> [mm]\integral_{0}^{x_0} \integral \integral |\vektor{1 \\ 0 \\ 0}* (\vektor{0 \\ 2x \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0\\ 2x})| (dx)^3[/mm]
>
> =4* [mm]\integral \integral \integral x^2 (dx)^3[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{15} x^5+c[/mm] <- Stammfunktion
>
>
> Über Rotationskörper erhalte ich im übrigen: [mm]\pi \bruch{1}{5} x^5[/mm]
>
> Also ab der Parametrisierung bin ich mir eig. nicht mehr
> sicher ob das überhaupt richtig ist mit diesem ersetzten
> von dx dy dz. Aber ich weiß auch nicht wirklich wie ich
> das anders mache soll. Lange Rede kurzer Sinn, ich hoffe
> ihr könnt mich so ein wenig aufklären, was ich da anders
> hätte machen sollen, bzw. was falsch ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 So 23.01.2011 | | Autor: | benni33 |
Hmm ja, das ist mir durchaus bewusst. Ich könnte also die Kreisfläche berechnen und dann über x-Integrieren.
Das würde allerdings die Rotationssymmetrie ausnutzen oder nicht ? ;D
Außerdem wird mir gerade nicht ersichtlich, wie mir das bei meiner Parametrisierung weiterhilft. Was mir in der zwischenzeit klar geworden ist, dass diese Parametrisierung also r= [mm] \vektor{x \\ x^2 \\ x^2} [/mm] auf jedenfall falsch ist, da ich nicht jeden Punkt IM Körper erreichen kann.
Statt dessen habe ich mir überlegt ob man nicht vielleich folgendes machen kann:
[mm] \integral_{0}^{x_0}{\integral_{-x^2}^{x^2}{\integral_{-x^2}^{x^2}{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}*(\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) du dv dw}}}
[/mm]
entsprechend war r= [mm] \vektor{u \\ v \\ w}
[/mm]
aber irgendwie sinnvoll erscheint mir das noch nicht.
Ich geh jetzt erstmal schlafen. Mit frischem Kopp denkt es sich viel besser.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Mo 24.01.2011 | | Autor: | benni33 |
Hallo alle zusammen,
nachdem wir heute nun eine Sitzung mit unserem Mentor hatten, und der uns das Konzept Volumenintegrale neu erklärt hat, aber ohne dies plöden 1-Formen und so ein wirr war, sondern mit ganz einfachen Quadern, war die Lösung eigentlich schon beinahe (wenn man die Idee erst mal hat) trivial.
Ich bin mir zwar nicht sicher ob ich in der Übung dafür alle Punkte bekommen werde, weil ich eig. nicht so etwas wie Parametrisierung und sowas verwendet habe. Dafür habe ich sehr intuitiv gearbeitet. Das jetzt ausführlich alles mit Skizze zu erklären würde den Rahmen sprengen, aber für die die eine Lösung suchen ergibt sich folgendes
[mm] \integral_{}^{}{dV} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x_0}{ \integral_{-x^2}^{x^2}{ \integral_{- \wurzel(x^4-y^2)}^{\wurzel(x^4-y^2)}{(1) dz dy dx}}} [/mm]
ergibt mit dem Hinweis (siehe Aufgabenstellung) zu [mm] \bruch{\pi}{5}{x_0}^5
[/mm]
Vielen Dank nochmal an Mathepower. Der Hinweis mit den Kreisen war wohl goldrichtig, auch wenn ich Ihn falsch verstanden habe.
Viele Grüße benni
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