Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 25.06.2013 | | Autor: | Eckman |
Hallo Leute,
ich soll ein Volumenintegral, genauer gesagt die Masse einer Menge ausrechnen, weiß aber nicht genau, wie ich mir diese vorstellen soll.
Also die Menge ist beschrieben als M={(x,y,z) e [mm] R^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z<=2y [/mm] und y>=x+1 und z>=0}
Kann es sein, dass es sich um eine Art Kugel oder ähnliches handelt?
Grüße
Eckman
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Hallo,
> ich soll ein Volumenintegral, genauer gesagt die Masse
> einer Menge ausrechnen, weiß aber nicht genau, wie ich mir
> diese vorstellen soll.
Eine Vorstellung zu haben ist zwar gut, wird dir aber bei der Berechnung nicht viel helfen.
> Also die Menge ist beschrieben als M={(x,y,z) e [mm] R^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z<=2y [/mm] und y>=x+1 und z>=0}
> Kann es sein, dass es sich um eine Art Kugel oder
> ähnliches handelt?
Ja, es ist eine Art Paraboloid, der allerdings abgeschnitten ist.
Die Bedingung [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + z [mm] \le [/mm] 2y$ ist äquivalent zu:
$z [mm] \le -(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 2y) = [mm] -(x^2 [/mm] + [mm] (y-1)^2 [/mm] -1) = 1 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] (y-1)^2$ [/mm] (*).
Die Gleichung $z = 1 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] (y-1)^2$ [/mm] beschreibt einen Paraboloid (![[]](/images/popup.gif) klicke hier!).
Deine Menge beinhaltet alle Punkte unterhalb der Paraboloids, aber über der Ebene $z = 0$. (wegen $z [mm] \ge [/mm] 0$).
Aber es gibt noch eine weitere Bedingung, die nun ein Stück des Paraboloids senkrecht rausschneidet:
Schau dir dazu mal nur die x-y-Ebene an.
Die Bedingung $y [mm] \ge [/mm] x+1$ bedeutet, dass nur alle Punkt mit $y$ über der Geraden $g(x) = x+1$ in der Menge liegen.
Viele Grüße,
Stefan
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