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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Hanz |
Hallo, ich bins nochmal :p
Ich soll ein Volumenintegral bestimmen. Zur Aufgabe:
Es ist gegeben [mm] B=\{(x,y,z)\in\IR^3: -2\le x \le 4 und y^2+z^2 \le 9\} [/mm] $und$ das Vektorfeld v(x,y,z)=(2x, 0, 0). Zu berechnen ist: [mm] \integral{\integral_{B}{\integral{(div (\vec{v}(x,y,z))) dV} } }.
[/mm]
Also die Divergenz meines Vektorfeldes v ist: [mm] div(\vec{v})=2. [/mm] Also muss ja berechnet werden:
[mm] 2*\integral{\integral_{B}{\integral{dV} } }
[/mm]
Also muss ich ja nun eine geeignete koordinatentransformation finden, welche mir Grenzen für mein 3-fach-Integral bringt. Wenn ich es richtig sehe, dann soll ich das Volumen eines Zylinders berechnen, der von x bei -2 bis 4 begrenzt wird.
Es soll ein Volumen von [mm] 108\pi [/mm] rauskommen. Das Problem ist, mir fällt keine sinnvolle Koordinatentransformation ein, um die Grenzen bestimmen zu können... Zylinderkoordinaten geben hier doch z.B. nicht viel her :<
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, ich bins nochmal :p
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> Ich soll ein Volumenintegral bestimmen. Zur Aufgabe:
>
> Es ist gegeben [mm]B=\{(x,y,z)\in\IR^3: -2\le x \le 4 und y^2+z^2 \le 9\}[/mm]
> [mm]und[/mm] das Vektorfeld v(x,y,z)=(2x, 0, 0). Zu berechnen ist:
> [mm]\integral{\integral_{B}{\integral{(div (\vec{v}(x,y,z))) dV} } }.[/mm]
>
>
> Also die Divergenz meines Vektorfeldes v ist:
> [mm]div(\vec{v})=2.[/mm] Also muss ja berechnet werden:
> [mm]2*\integral{\integral_{B}{\integral{dV} } }[/mm]
>
> Also muss ich ja nun eine geeignete
> koordinatentransformation finden, welche mir Grenzen für
> mein 3-fach-Integral bringt. Wenn ich es richtig sehe, dann
> soll ich das Volumen eines Zylinders berechnen, der von x
> bei -2 bis 4 begrenzt wird.
>
> Es soll ein Volumen von [mm]108\pi[/mm] rauskommen.
Dazu brauchst du doch kein Volumenintegral; Was ist das Volumen eines Zylinders mit Kreisfläche [mm] $9\pi$ [/mm] und Höhe $6$ ?
> Das Problem ist,
> mir fällt keine sinnvolle Koordinatentransformation ein,
> um die Grenzen bestimmen zu können... Zylinderkoordinaten
> geben hier doch z.B. nicht viel her :<
Zylinderkoordinaten sind genau richtig. Nur musst du die x- und die z-Koordinate vertauschen, denn die Zylinderachse liegt in x-Richtung; und das Volumen des Zylinders hängt ja nicht vom Koordinatensystem ab.
Also z.B. $x=x$, [mm] $z=r\cos\phi$, $x=r\sin\phi$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Hanz |
Ich weiss, dass das mit dem 3-fach-Integral umständlicher ist, aber wollte es dennoch mal rausbekommen (Das Volumen ist natürlich [mm] 2*54*\pi=108\pi).
[/mm]
Vertausche ich x und z Koordinate, dann bekomme ich doch die Transformation: $(x,y,z)=(x, [mm] r*sin(\phi), r*cos(\phi))$
[/mm]
Dann müste ich ja eigentlich die Grenzen wie folgt bekommen:
$ [mm] 2\cdot{}\integral_{-2}^{4}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{3}{r*dr*d\phi*dx} } } [/mm] $ = [mm] 108*\pi.
[/mm]
Oh man, ich hatte ja die ganze Zeit die richtigen Grenzen auf meinem Papier, aber habe mich immer dumm verrechnet, das stimmt ja überein :D :D
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Hallo Hanz,
> Ich weiss, dass das mit dem 3-fach-Integral umständlicher
> ist, aber wollte es dennoch mal rausbekommen (Das Volumen
> ist natürlich [mm]2*54*\pi=108\pi).[/mm]
>
> Vertausche ich x und z Koordinate, dann bekomme ich doch
> die Transformation: [mm](x,y,z)=(x, r*sin(\phi), r*cos(\phi))[/mm]
>
> Dann müste ich ja eigentlich die Grenzen wie folgt
> bekommen:
>
> [mm]2\cdot{}\integral_{-2}^{4}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{3}{r*dr*d\phi*dx} } }[/mm]
> = [mm]108*\pi.[/mm]
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oh man, ich hatte ja die ganze Zeit die richtigen Grenzen
> auf meinem Papier, aber habe mich immer dumm verrechnet,
> das stimmt ja überein :D :D
>
Gruss
MathePower
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