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Hallo sehr geehrte fleißige Leute...
Ich habe mal eine allgemeine Frage zu den Kugelkoordinaten...
Angenommen ich betrachte eine Halbkugel mit dem Radius 1, dessen Grundfläche genau auf der xy - Ebene liegt. Dann ergibt sich ja bei der Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten [mm] dxdydz=r^2sin\theta drd\theta d\phi
[/mm]
Nun möchte ich mir die Integrationsgrenzen zusammen suchen. Es handelt sich ja, wie bereits erklärt um eine Halbkugel mit dem Radius 1, dessen Grundfläche genau auf der xy - Ebene liegt.
Es sei weiterhin
[mm] x=Rsin\theta cos\phi
[/mm]
[mm] y=Rsin\theta sin\phi
[/mm]
[mm] z=Rcos\theta
[/mm]
Es gilt ja demnach
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 für den Radius
0 [mm] \le \theta \le \bruch{\pi}{2} [/mm] für den Winkel [mm] \theta
[/mm]
0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] für den Winkel [mm] \phi
[/mm]
nun zu meiner Frage:
Wieso wählt man für [mm] \theta [/mm] aber den Bereich 0 [mm] \le \theta \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Es handelt sich doch um eine Halbkugel müsste demnach nicht 0 [mm] \le \theta \le \pi [/mm] oder zumindest [mm] -\bruch{\pi}{2} \le \theta \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Hoffe ihr versteht meine Frage...
mfg dodo4ever
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Hallo!
> Hallo sehr geehrte fleißige Leute...
>
> Ich habe mal eine allgemeine Frage zu den
> Kugelkoordinaten...
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> Angenommen ich betrachte eine Halbkugel mit dem Radius 1,
> dessen Grundfläche genau auf der xy - Ebene liegt. Dann
> ergibt sich ja bei der Koordinatentransformation von
> kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten
> [mm]dxdydz=r^2sin\theta drd\theta d\phi[/mm]
>
> Nun möchte ich mir die Integrationsgrenzen zusammen
> suchen. Es handelt sich ja, wie bereits erklärt um eine
> Halbkugel mit dem Radius 1, dessen Grundfläche genau auf
> der xy - Ebene liegt.
>
> Es sei weiterhin
>
> [mm]x=Rsin\theta cos\phi[/mm]
>
> [mm]y=Rsin\theta sin\phi[/mm]
>
> [mm]z=Rcos\theta[/mm]
>
> Es gilt ja demnach
>
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1 für den Radius
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> 0 [mm]\le \theta \le \bruch{\pi}{2}[/mm] für den Winkel [mm]\theta[/mm]
>
> 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm] für den Winkel [mm]\phi[/mm]
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> nun zu meiner Frage:
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> Wieso wählt man für [mm]\theta[/mm] aber den Bereich 0 [mm]\le \theta \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Es handelt sich doch um eine Halbkugel müsste demnach
> nicht 0 [mm]\le \theta \le \pi[/mm] oder zumindest [mm]-\bruch{\pi}{2} \le \theta \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
Stelle dir diesbezüglich das resultierende Volumen einmal vor. Wenn du den Polarwinkel von 0 bis [mm] \pi [/mm] und den Azimutwinkel von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integrierst, erhältst du doch eine vollständige Kugel. Die Gedankenschritte im Einzelnen:
(1) Der Radius mit dem Betrag r=1 zeigt in [mm] \vec{e}_{r}-Richtung.
[/mm]
(2) Der Polarwinkel [mm] \vartheta\in[0,\pi] [/mm] spannt dann i.V.m mit (1) zunächst einen Halbkreis in [mm] \vec{e}_{\vartheta} [/mm] auf. (Skizze!)
(3) Den resultierenden Halbkreis lässt du dann in azimutaler Richtung [mm] (\vec{e}_{\varphi}) [/mm] um [mm] 2\pi [/mm] um die Achse rotieren.
Beachte: [mm] (\vec{e}_{r},\vec{e}_{\vartheta},\vec{e}_{\varphi}) [/mm] bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
> Hoffe ihr versteht meine Frage...
>
> mfg dodo4ever
Viele Grüße, Marcel
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