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| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Bereichs [mm] D\subset \IR^3 [/mm] , wobei
D= [mm] {(x,y,z)^T \in \IR^3 \ x,y,z \le \wurzel{2} und x^2+y^2 \le 1} [/mm] |
Meine Überlegungen bisher: [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1 , ist ein Viertel des Einheitskreises, da x, y, z [mm] \le [/mm] 0 sind. Die Fläche habe ich mit einem Doppelintegral berechnet:
[mm] \integral_{0}^{1} [\integral_{0}^\wurzel{1-x^2} [/mm] 1 dy ]dx =
[mm] \integral_{0}^{1} \wurzel {1-x^2} [/mm] dx=
1/2 [mm] [1*\wurzel{0} [/mm] + arcsin 1] = pi
x+y+z [mm] \le \wurzel{2}, [/mm] ist eine abgeschlossene Ebene. Nun weis ich nicht genau weiter. Muss ich nun bis zu dieser Ebene integrieren? Stell ich mir unter einem Viertelzylinder der dann von der Ebene gekappt wird das richtige vor?
Wär sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte! =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso denkst du an 1/4 Einheitskreis? der Rand der Menge ist der ganze Kreis. seine Fläche mit [mm] r^2pi [/mm] darfst du wissen.
und ja, das ist ein Zylinder, und wenn die Bedingung heisst [mm] x+y+z<\wurzel{2} [/mm] wird er von dieser Ebene abgeschnitten.
fehlt da nicht noch ne Bedingung wie etwa z>0 sonst geht er ja bis [mm] -\infty? [/mm] oben stand [mm] x,y,z<\wurzel{2} [/mm] unten [mm] x+y+z<\wurzel{2}
[/mm]
was gilt?
Gruss leduart
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tut mir leid ich hab vergessen zu schreiben, dass gilt 0 [mm] \le [/mm] x,y,z daher hab ich gemeint es is nur ein Viertelkreis.
und es gilt x+y+z [mm] \le \wurzel{2} [/mm] und [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber 1/4 Einheitskreis hat die Fläche [mm] \pi/4 [/mm] !
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 So 20.06.2010 | | Autor: | plusminus |
ich komm bei erneuter rechnung auch auf die pi/4 =) - dankeschön für die korrektur!
jetzt weis ich allerdings nicht so genau wie ich die integrationsgrenze finden kann. Für die untere hätte ich jetzt 0 angegeben, aber bei der oberen bin ich überfragt...muss ich da z+x+y [mm] \le \wurzel{2} [/mm] nach z auflösen und dann als Grenze festelegen?
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ich komm bei erneuter rechnung auch auf die pi/4 =) - dankeschön für die korrektur!
jetzt weis ich allerdings nicht so genau wie ich die integrationsgrenze finden kann. Für die untere hätte ich jetzt 0 angegeben, aber bei der oberen bin ich überfragt...muss ich da z+x+y $ [mm] \le \wurzel{2} [/mm] $ nach z auflösen und dann als Grenze festelegen?
wusste leider nicht wie ich meinen letzten Beitrag zu einer Frage umwalndle, wenn ich ihn mal abgesendet habe. - daher doppelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja , innerste Integration von 0 bis [mm] \wurzel{2}-x-y
[/mm]
dann würd ich allerdings für x,y polarkoordinaten nehmen und von 0 [mm] bis\pi/2 [/mm] über [mm] \phi [/mm] und 0 bis 1 über r integrieren. die Integrale sind viel einfacher.
Gruss leduart
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Wenn ich die beiden äußeren Integrale einfacher mit Polarkoordinaten rechnen kann, kann ich dann auch die obere Integralgrenze der inneren Integrationsgrenze in Polarkoordinaten ausdrücken? Ich hab nämlich dann als weiteren Rechenweg:
[mm] \integral_{-0}^{\wurzel{2}-y-x} pi/4\, [/mm] dz = pi/4 [mm] *(\wurzel{2}-x-y)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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