Volumenberechnung mit Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
| Aufgabe | 1.3 Kofferraum
Ihr Kofferraum hat die Seitenlängen a=70, b=120 und c=40 Zentimeter. Dabei schließen a und b den Winkel ein, dessen Cosinus 1/10 ist, der Winkel zwischen b und c sei ebenso groß. Bestimmen Sie das Volumen des Kofferraums. |
N'Abend zusammen,
vorab, ich habe die Aufgabe bereits gelöst allerdings würd ich gerne wissen ob dies auch etwas schneller bzw. besser geht.
Im ersten Moment war ich etwas irritiert, mir ist bewusst das sich das Volumen eines Parallelogramms mithilfe des Spatprodukts berechnen lässt. Allerdings stieß ich hierbei auf das Problem, das keine Vektoren in der Form [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] angegeben sind, sondern nur die Seitenlängen. Daher habe ich gedanklich bzw. in meiner Skizze eine Ecke des Parallelogramms in den Koordinatenursprung gelegt, sodass sich der Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OB}=\vektor{0 \\ 120 \\ 0} [/mm] ergibt. Um nun die beiden anderen, nötigen Vektoren zu definieren, habe ich über die Trigonometrie in Zusammenspiel mit dem Winkel [mm] cos^{-1}=(\bruch{1}{10}) [/mm] den Winkel von 84° berechnet, dessen Cosinus wiederum [mm] \bruch{1}{10} [/mm] ergibt, wie in der Aufgabe gefordert und mit diesem den Weg den die Vektoren in jeweiliger x- und y- bzw. y- und z- Richtung zurücklegen. Darauß ergeben sie die beiden Ortsvektoren [mm] \overrightarrow{OA}=\vektor{70 \\ 7 \\ 0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OC}=\vektor{0 \\ 4 \\ 40}. [/mm] Mit diesen 3 Vektoren habe ich dann das Spatprodukt gebildet, dessen Betrag ja das gesuchte Volumen ist. Überprüft habe ich das Ergebnis anschließend mithilfe der allgemeinen Volumenformel für ein Parallelogramm und komme auf's gleiche Volumen. Lange Rede kurzer Sinn: geht das ganze auch ohne die Trigonometrie? Sonstige Ratschläge?
Zur besseren Veranschaulichung hänge ich mein Berechnungsblatt an.
MFG Dax
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Hi,
> 1.3 Kofferraum
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> Ihr Kofferraum hat die Seitenlängen a=70, b=120 und c=40
> Zentimeter. Dabei schließen a und b den Winkel ein, dessen
> Cosinus 1/10 ist, der Winkel zwischen b und c sei ebenso
> groß. Bestimmen Sie das Volumen des Kofferraums.
>
> N'Abend zusammen,
>
> vorab, ich habe die Aufgabe bereits gelöst allerdings
> würd ich gerne wissen ob dies auch etwas schneller bzw.
> besser geht.
> Im ersten Moment war ich etwas irritiert, mir ist bewusst
> das sich das Volumen eines Parallelogramms
Das haut ja schon einmal nicht hin. Ein Paralleogramm ist eine Fläche. Hier handelt es sich natürlich um ein Volumen. Was du meinst ist ein Parallelepiped.
> mithilfe des
> Spatprodukts berechnen lässt. Allerdings stieß ich
> hierbei auf das Problem, das keine Vektoren in der Form
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] angegeben sind, sondern nur die
> Seitenlängen. Daher habe ich gedanklich bzw. in meiner
> Skizze eine Ecke des Parallelogramms in den
> Koordinatenursprung gelegt, sodass sich der Ortsvektor
> [mm]\overrightarrow{OB}=\vektor{0 \\ 120 \\ 0}[/mm] ergibt. Um nun
> die beiden anderen, nötigen Vektoren zu definieren, habe
> ich über die Trigonometrie in Zusammenspiel mit dem Winkel
> [mm]cos^{-1}=(\bruch{1}{10})[/mm] den Winkel von 84° berechnet,
> dessen Cosinus wiederum [mm]\bruch{1}{10}[/mm] ergibt, wie in der
> Aufgabe gefordert und mit diesem den Weg den die Vektoren
> in jeweiliger x- und y- bzw. y- und z- Richtung
> zurücklegen. Darauß ergeben sie die beiden Ortsvektoren
> [mm]\overrightarrow{OA}=\vektor{70 \\ 7 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{OC}=\vektor{0 \\ 4 \\ 40}.[/mm]
Klar vektoriell wäre das echt eine feine Sache. Doch ich sag dir, wo jetzt das Problem liegt:
Die Werte sind nicht mehr so, wie sie gegeben waren. Z.B. ist die Seite c bei dir nun 40,2cm.
Jetzt mag man sagen: "Naja, sind doch nur 2 mm." Ich würde dir da Recht geben. Doch das liegt auch an dem recht kleinen Winkel.
Wer nun sagt, er möchte diese kleinen Werte vernachlässigen, der könnte sofort das Parallelepiped als Quader betrachten. Das liegt aber sicherlich nicht im Sinne des Aufgabenstellers.
> Mit diesen 3
> Vektoren habe ich dann das Spatprodukt gebildet, dessen
> Betrag ja das gesuchte Volumen ist. Überprüft habe ich
> das Ergebnis anschließend mithilfe der allgemeinen
> Volumenformel für ein Parallelogramm und komme auf's
> gleiche Volumen. Lange Rede kurzer Sinn: geht das ganze
> auch ohne die Trigonometrie? Sonstige Ratschläge?
Ohne Geometrie geht es kaum.
Es gibt noch die Möglichkeit das Volumen über den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen:
V=A*h
Die Grundfläche hat gerade die Form eines Parallelogramms. Also schnell zu berechnen. Die Höhe ist dann durch einfache trigonometrische Betrachtungne zu ermitteln.
Ich denke die vektorielle Form ist zu aufwendig, dennoch lohnenswert sich das mal zu anzuschauen.
Liebe Grüße!
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> Zur besseren Veranschaulichung hänge ich mein
> Berechnungsblatt an.
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> MFG Dax
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Hallo Richie, danke schonmal für deine Antwort und für die Verbesserung!
Mit der von dir erwähnten Formel V=A*h habe ich letztenendes die Probe durchgeführt, allerdings besagt die Aufgabenstellung (nicht jene die oben beschrieben ist) klar, dass mit Vektoren zu rechnen ist, das gesamte Aufgabenblatt von dem die Aufgabe entspringt steht unter dem Thema "Vektorrechnung".
Die Tatsache das die kleinen Ungenauigkeiten der Werte vernachlässigt werden und auch werden sollen liegt daran, das wir komplett ohne Taschenrechner rechnen sollen (wobei ich diesen für die Berechnung des Winkels doch gebraucht habe) und es unserem Dozenten mehr darum geht das Prinzip zu verstehen, als dass das Ergebnis bis auf die letzte Nachkommastelle genau ist.
Das heißt nochmal die kurze Frage: Unter den Gesichtspunkten das die Vektorrechnung angewand werden soll und kleinere Ungenauigkeiten vernachlässigt werden können - hab ich alles richtig gemacht oder gibt's eine "bessere" herangehensweise?
MFG Dax
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Do 26.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da der Betrag ds Spatprodukts für ein Paarllelogtamm [mm] a*b*sin\phi [/mm] ist und [mm] sin^2\phi=1-cos^2\phi [/mm] geht es auch mit Wurzelziehen . ob das dann noch Vektorrechnung ist im sinne deines Dozenten weiss ich nicht . ohne TR sollte man dann wissen dass [mm] \sqrt{1-x}\approx1-x/2 [/mm] für kleine x und 1(100 ist klein.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das Problem ist, dass die Aufgabe allein mit den gegebenen Daten keine eindeutige Lösung hat.
Man stelle sich a (fast) parallel zu c vor, dann ist das Volumen (fast) Null.
Gibt es weitere Informationen ?
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Hallo zusammen,
Aufgabe ist so wie ich es gelöst habe genau so wie vom Dozenten verlangt, alles in Ordnung also. Danke für eure Antworten.
MFG Dax
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