Volumenberechnung eines Kegels < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Heute in der Schule haben wir die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels kennengelernt.
Da die Formel 1/3 (Grundfläche*Höhe) in unserem Mathebuch nur für eine zum Quader erweiterte Pyramide bewiesen ist (wo sie meiner Meinung nach auch Stimmt) und nicht für einen zum Zylinder erweiterten Kegel kam ich zu folgender Überlegung:
Die allgemein bekannte Formel lautet: 1/3 (r²*pi*h)
Ich allerdings bin der Meinung, dass die Formel anders lauten muss, worüber ich nach der Stunde noch eine halbstündige Diskussion mit meinem Mathelehrer hatte, nämlich: 1/2 (r²*pi*h).
Zu meiner Begründung:
Ich zeichne einen Querschnitt, eines geraden Kegels und ergänze ihn zu einem Zylinder von gleicher Höhe und gleichem Radius. Die Fläche des Kegelquerschnitts male ich grün aus. Es bleiben noch 2 freie flächen, die dasselbe Volumen wie der Kegel haben. Also nehme ich einen weiteren Kegelquerschnitt, halbiere ihn auf der Höhenlinie und füge die beiden neu gewonnenen Rechtwinkligen dreiecke in den Höhenquerschnitt ein. Sie passen genau. Nun ist also Der komplette Zylinder ausgefüllt und wir können mit dem 3 Dimensionalisieren beginnen, was wir einfach mal in Gedanken durchführen. Wenn wir an jeder Seite 179 mal die hälfte des Querschnittes im jeweiligen Abstand von 1° zum Vorherigen und nächsten Querschnittsteil ankleben würden hätten wir aus 2 Kegeln die den Körper r²*pi*h gebiltet, was bedeutet, dass wir das Volumen dieses Körpers halbieren müssen um das Volumen der jeweiligen Kegel zu erhalten.
Da mir mein Mathelehrer keine ansatzweise verständliche Erklärung liefern konnte wollte ich mal fragen, was ihr von meiner Überlegung haltet, bzw. ob ihr diese irgendwie unterstützen oder wiederlegen, bzw, mir erklären zu können.
Danke schonmal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Mathematik zu revolutionären macht spass, gell :)
Verlern es niemals etwas kritisch zu hinterfragen !
In diesem Fall gibt es aber eine einfache Lösung. Du siehst das Problem mit deinem Ansatz, wenn du das ganze mal von oben anschaust [rechts im Bild].
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dem grünen Bereich, der ensteht in dem zu ganz viele von diesen Sachen (links) im Kreis herum anordnest, ist jeweils viel weniger Raum zwischen den einzelnen Sachen [blau] .. als aussen [violett]... Also kannst du noch viel mehr Raum füllen aussen, als du es innen jemals machen kannst.
Um die Formel hier herzuleiten benutzt du am einfachsten die Integralrechnung und rotierst um die Höhe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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und das ergibt dann wirklich 100% exakt 1/3 bzw, 3?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 29.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja! siehe meine andere Antwort!
Gruss leduart
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Auf dieser Website findest du den "hässlichen" Integralbeweis.. wo das 1/3 vom [mm] x^2 [/mm] runterrutscht.. :)
http://www.mph.net/coelsner/JSP_applets/cone_ex.htm
Als bonus hat es ein applet wo man rote punkte ziehen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 29.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo pasionarts
Ich freu mich immer, wenn jemand selbst probiert, das richtige rauszufinden, drum kriegst du noch ne Antwort.
1. mach einfach mal aus 2 halben Kreisen aus Papier 2 Kegel, füg sie Spitze zu Grundfläche aneinander, dan siehst du den Fehler in deiner Übrlegung ganz einfach.
2. Schon vor langer Zeit hat Herr Cavalieri das Problem so gelöst:
Wenn du 2 gleich hohe körper hast, dann kannst du sie in Gedanken von unten nach oben in viele dünne Scheiben schneiden. von jeder der Scheiben kannst du wie von einem geraden Körper das Volumen aus Grundfläche*Höhe ausrechnen. Alle die Scheiben zusammengesetzt ergibt dann den ganzen Körper.
Das hat zur Folge, dass etwa ein Quader und ein schiefer Quader mit derselben Grundfläche und Höhe dasselbe Volumen haben.
Ebenso wenn du ne gerade Pyramide in Scheiben denkst, und einen Kegel, der in jeder Höhe dieselbe Querschnittsfläche hat!
Mit dieser Idee, und deiner Einsicht für die Pyramiden, siehst du, dass auch für den Kegel das 1/3 gilt. Und zwar nicht nur für den braven Kreiskegel, sondern für JEDE Sorte Grundfläche, sei sie noch so schief und krumm, auf der man dann lauter gerade Linien bis zur Spitze zieht!
Also ALLE Dinger mit ner Grundfläche und ner Spitze und graden Mantellinien haben bei gleicher Grundfläche und Höhe dasselbe Volumen! Eigentlich ein tolles Ergebnis. Und wenn du vor Jahren mal mit Knete gespielt hast, ist auch klar, dass du aus ner Pyramide nen Kegel gleicher Höhe und Grundfläche "machen" kannst.
Gruss leduart
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