Volumenberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
| Aufgabe | Das Flächenstück
[mm] S:x^2-4x+y^2+2z=0 ,z\ge0
[/mm]
und die xy-Ebene schließen einen Körper K ein.
Berechnen Sie das Volumen von K |
Hi,
also ich kriege ein falsches Ergebnis heraus. Ich weiß nicht ob mein Ansatz stimmt:
V= [mm] \integral\integral\integral_K{1 dxdydz} [/mm]
mit der Parametrisierung: [mm] \vektor{x \\ y\\-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}y^2+2x}
[/mm]
mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le1 [/mm] , [mm] 0\le [/mm] y [mm] \le1 [/mm] und [mm] 0\le [/mm] z [mm] \le-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}y^2+2x
[/mm]
Wenn ich das jetzt oben im Integral einsetzt und in der Reihenfolge dzdxdy ausrechne bekomme ich: V= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] was offenbar nicht stimmt.
Ein anderer Ansatz war vor dem Berechnen noch in Polarkoordinaten zu transformieren: also x= r cos (phi), y= r sin(phi). mit z= [mm] -0,5r^2+2rcos(phi)
[/mm]
mit [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le1 ,0\le [/mm] phi [mm] \le2pi
[/mm]
mit der Funktionaldeterminante r erhielt ich dann: [mm] V=-\bruch{1}{4}pi
[/mm]
Und das stimmt offensichtlich auch nicht.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
mache dir doch mal klar, um was für einen Körper es sich handelt und wo im Koordinatensystem er sich befindet.
Dann siehst du auch, dass deine Integrationsgrenzen nichts mit der Aufgabenstellung zu tun haben. (z.B. erfüllt doch der Punkt P=(4|0|0) die Gleichung, wird aber bei 0<x<1 gar nicht berücksichtigt.)
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung 4 und erhalte [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 - 2z.
Ich hoffe, das hilft fürs erste.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
Ok diesen Ansatz hatte ich auch schon. Unter dem Körper konnte ich mir leider nichts vostellen. Ist vermutlich ein elliptisches Paraboloid.
Wenn ich jetzt [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 - 2z nehme, habe ich ja einen Kreis um (2,0) mit Radius [mm] \wurzel{4-2z}.
[/mm]
Mir fehlt allerdings, und deshalb hatte ich diesen Ansatz auch verworfen, eine Einschränkung für z.
Ich könnte ja über diese Kreise integrieren, brauche aber eine obere Grenze für z? Also brauche ich die Höhe des Paraboloids wie bekomme ich die?
Mfg
aco92
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Hallo aco92,
> Ok diesen Ansatz hatte ich auch schon. Unter dem Körper
> konnte ich mir leider nichts vostellen. Ist vermutlich ein
> elliptisches Paraboloid.
> Wenn ich jetzt [mm](x-2)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4 - 2z nehme, habe ich
> ja einen Kreis um (2,0) mit Radius [mm]\wurzel{4-2z}.[/mm]
> Mir fehlt allerdings, und deshalb hatte ich diesen Ansatz
> auch verworfen, eine Einschränkung für z.
> Ich könnte ja über diese Kreise integrieren, brauche
> aber eine obere Grenze für z? Also brauche ich die Höhe
> des Paraboloids wie bekomme ich die?
>
Eine obere Grenze für z ist doch durch den Radius gegeben.
> Mfg
> aco92
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
Vielleicht hab ich mich etwas unverständlich ausgedrückt:
ich habe doch jetzt:
[mm] \integral\integral\integral_K{1 dxdydz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}\integral_{0}^{Hoehe}{r* dzdrdphi}
[/mm]
In [mm] \wurzel{4-2z} [/mm] kann ich noch [mm] z=-\bruch{1}{2}r^2+2rcos(phi) [/mm] einsetzen. Aber mir fehlt diese 3. Integrationsgrenze
MfG
aco92
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Hallo aco92,
> Vielleicht hab ich mich etwas unverständlich
> ausgedrückt:
> ich habe doch jetzt:
> [mm]\integral\integral\integral_K{1 dxdydz}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}\integral_{0}^{Hoehe}{r* dzdrdphi}[/mm]
>
> In [mm]\wurzel{4-2z}[/mm] kann ich noch
> [mm]z=-\bruch{1}{2}r^2+2rcos(phi)[/mm] einsetzen. Aber mir fehlt
> diese 3. Integrationsgrenze
>
Diese 3. Integrationsgrenze ist die maximal mögliche z-Koordinate,
die sich aus der Bedingung, daß [mm]4-2z=0[/mm] ergibt.
> MfG
> aco92
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
Dann also:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}{r\cdot{}drdzdphi} [/mm] = [mm] 4\pi [/mm] = V?
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Hallo aco92,
> Dann also:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}{r\cdot{}drdzdphi}[/mm]
> = [mm]4\pi[/mm] = V?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
Super danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo aco92,
bitte stelle den Status einer beantworteten Frage nicht grundlos auf 'unbeantwortet' zurück.
Vielen Dank!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 25.02.2013 | | Autor: | aco92 |
Sorry war keine Absicht.
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