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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Fr 30.03.2012 | | Autor: | tom4all |
| Aufgabe | Ein auf der Spitze stehender gleichseitiger Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des Kegels
ergibt ein gleichseitiges Dreieck) ist teilweise mit Wasser gefüllt. Wirft man
in den Kegel eine Kugel mit dem Radius r, so wird diese gerade ganz von Wasser
bedeckt und der Kegel ganz mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die Tiefe des Wassers
vor und nach dem Hineinwerfen der Kugel!
Lösung: vorher: r 3.Wurzel aus 15; nachher: 3r |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es wäre nett, wenn mir jemand eine "Starthilfe" geben könnte, da ich nicht weiss, wie ich weitermachen soll:
Vol. (Kegel klein) + Vol. (Kugel) = Vol. (Kegel gross)
[mm] \bruch{1}{3}\pi rk^{2}hk+\bruch{4}{3}\pi r^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\pi rg^{2}hg
[/mm]
rk=Radius vom kleinen Kegel
hk=Höhe vom kleinen Kegel
rg=Radius vom großen Kegel
hg=Höhe vom großen Kegel
[mm] rk^{2}hk [/mm] + [mm] 4r^{3} [/mm] = [mm] rg^{2}hg
[/mm]
Sorry für die Schreibweise, aber das ist mein erstes Mal hier 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Down |
Zu Beachten ist, dass es sich um einen ganz bestimmten Kegel handelt: gleichseitig. Die Wassertiefe nach dem Hineinwerfen der Kugel kann man dann direkt berechnen.
Die von dir aufgestellte Volumenerhaltung finde ich gut, für eine Auflösung nach hk sind es aber noch zu viele Variablen. Gibt es vielleicht eine Möglichkeit, rk als eine funktion von hk zu definieren? (Und rg als eine funktion von hg? )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 31.03.2012 | | Autor: | tom4all |
Hallo Down,
vielen Dank für Deine Hilfe. Wie kann ich die Wassertiefe nach dem Hineinwerfen direkt berechnen? Sorry aber ich komme im Moment nicht auf die Lösung.
VG tom
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Hallo,
was Down dir sagen wollte ist, dass du keine drei Radien verwenden solltest, sondern nur zwei. Nämlich den Radius des gefüllten Kegels und den Radius der Kugel. Und außerdem besteht zwischen diesen beiden Radien noch eine Beziehung, da im senkrechten Schnitt die Kugel Inkreis des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge R (R: Radius großer Kegel) ist. Man kann diese Beziehung speziell am gleichseitigen Dreieck sehr leicht finden, wenn man bedenkt, dass hier Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt (und weitere Punkte, die aber hier keine Rolle spielen) zusammenfallen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 31.03.2012 | | Autor: | tom4all |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo tom4all,
zunächst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine kleine Anmerkung: bitte tippe Deine Rechnung hier direkt ein und lade keine eingescannten Handrechnungen hoch.
Das macht es den Helfenden unnötig umständlich und lässt auch keine Chance auf Korrekturen, da Du die Arbeit des Abtippens dann auf die Helfenden abwälzt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 31.03.2012 | | Autor: | tom4all |
| Aufgabe | Ein auf der Spitze stehender gleichseitiger Hohlkegel (d.h. ein Axialschnitt des Kegels
ergibt ein gleichseitiges Dreieck) ist teilweise mit Wasser gefüllt. Wirft man
in den Kegel eine Kugel mit dem Radius r, so wird diese gerade ganz von Wasser
bedeckt und der Kegel ganz mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die Tiefe des Wassers
vor und nach dem Hineinwerfen der Kugel!
Lösung: vorher: [mm] r\wurzel[3]{15}; [/mm] nachher: 3r |
[mm] r_k^2*h_k [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] = [mm] r_g^2*h_g [/mm] Strahlensatz: [mm] \bruch{r_g}{r_k} [/mm] = [mm] \bruch{h_g}{h_k}
[/mm]
[mm] r_k [/mm] = [mm] \bruch{h_k}{h_g} *r_g
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
h_k * r_g \\
h_g
\end{pmatrix}^2 h_k [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] = [mm] r_g ^2*h_g
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
h_k^2*r_g^2 \\
h_g^2
\end{matrix}*h_k [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] = [mm] r_g^2*h_g
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
h_k^3*r_g^2 \\
h_g^2
\end{matrix} [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] = [mm] r_g^2*h_g
[/mm]
[mm] h_k^3*r_g^2 [/mm] + [mm] 4r^3*h_g^2 [/mm] = [mm] r_g^2*h_g^3 [/mm] Pythagoras: [mm] h_g^2 [/mm] + [mm] r_g^2 [/mm] = [mm] (2r_g)^2
[/mm]
[mm] h_g^2 [/mm] + [mm] r_g^2 [/mm] = [mm] 4r_g^2
[/mm]
[mm] k_g^2 [/mm] = [mm] 3r_g^2
[/mm]
[mm] r_g^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*h_g^2
[/mm]
[mm] h_k^3*\bruch{1}{3}h_g^2 [/mm] + [mm] 4r^3*h_g [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*h_g^2*h_g^3
[/mm]
[mm] h_k^3 [/mm] + [mm] \begin{matrix}
4r^3*h_g^2*3 \\
h_g^2
\end{pmatrix}= h_g^3
[/mm]
[mm] h_k [/mm] + [mm] 12r^3 [/mm] = [mm] h_g^3
[/mm]
[mm] 12r^3 [/mm] = [mm] h_g^3 [/mm] - [mm] h_k^3
[/mm]
[mm] r\wurzel[3]{12} [/mm] = [mm] h_g [/mm] - [mm] h_k [/mm] Strahlensatz: [mm] \bruch{r_g}{r} [/mm] = [mm] \bruch{h_g}{h_g - r}
[/mm]
Wie geht es bitte weiter? Oder ist schon etwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 31.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ein auf der Spitze stehender gleichseitiger Hohlkegel (d.h.
> ein Axialschnitt des Kegels
> ergibt ein gleichseitiges Dreieck) ist teilweise mit
> Wasser gefüllt. Wirft man
> in den Kegel eine Kugel mit dem Radius r, so wird diese
> gerade ganz von Wasser
> bedeckt und der Kegel ganz mit Wasser gefüllt. Berechnen
> Sie die Tiefe des Wassers
> vor und nach dem Hineinwerfen der Kugel!
> Lösung: vorher: [mm]r\wurzel[3]{15};[/mm] nachher: 3r
> [mm]r_k^2*h_k[/mm] + [mm]4r^3[/mm] = [mm]r_g^2*h_g[/mm]
das Volumen der Kugel ist [mm] 4\pi/3*r^3
[/mm]
> Strahlensatz:
> [mm]\bruch{r_g}{r_k}[/mm] = [mm]\bruch{h_g}{h_k}[/mm]
>
> [mm]r_k[/mm] = [mm]\bruch{h_k}{h_g} *r_g[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
h_k * r_g \\
h_g
\end{pmatrix}^2 h_k[/mm] + [mm]4r^3[/mm] = [mm]r_g ^2*h_g[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}
h_k^2*r_g^2 \\
h_g^2
\end{matrix}*h_k[/mm] + [mm]4r^3[/mm] =
> [mm]r_g^2*h_g[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}
h_k^3*r_g^2 \\
h_g^2
\end{matrix}[/mm] + [mm]4r^3[/mm] = [mm]r_g^2*h_g[/mm]
>
> [mm]h_k^3*r_g^2[/mm] + [mm]4r^3*h_g^2[/mm] = [mm]r_g^2*h_g^3[/mm] Pythagoras:
> [mm]h_g^2[/mm] + [mm]r_g^2[/mm] = [mm](2r_g)^2[/mm]
>
> [mm]h_g^2[/mm] + [mm]r_g^2[/mm] = [mm]4r_g^2[/mm]
>
> [mm]k_g^2[/mm] = [mm]3r_g^2[/mm]
Dasselbe gilt für h_kund [mm] r_k [/mm]
> [mm]r_g^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*h_g^2[/mm]
>
> [mm]h_k^3*\bruch{1}{3}h_g^2[/mm] + [mm]4r^3*h_g[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}*h_g^2*h_g^3[/mm]
>
> [mm]h_k^3[/mm] + [mm]\begin{matrix}
4r^3*h_g^2*3 \\
h_g^2
\end{pmatrix}= h_g^3[/mm]
>
> [mm]h_k[/mm] + [mm]12r^3[/mm] = [mm]h_g^3[/mm]
>
> [mm]12r^3[/mm] = [mm]h_g^3[/mm] - [mm]h_k^3[/mm]
>
> [mm]r\wurzel[3]{12}[/mm] = [mm]h_g[/mm] - [mm]h_k[/mm] Strahlensatz:
> [mm]\bruch{r_g}{r}[/mm] = [mm]\bruch{h_g}{h_g - r}[/mm]
>
> Wie geht es bitte weiter? Oder ist schon etwas falsch?
der Radius ist der Radius des Inkreises, also [mm] 1/3*h_g
[/mm]
(Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt 2:1)
wenn du noch das kugelvolumen korrigierst ist der Rest wohl ok
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Sa 31.03.2012 | | Autor: | tom4all |
Herzlichen Dank für die nützlichen Hinweise! Nach einer "Neuberechnung" habe ich es nun herausbekommen.
"der Radius ist der Radius des Inkreises, also $ [mm] 1/3\cdot{}h_g [/mm] $
(Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt 2:1" => WOHER HAST DU DIESE HINWEISE?
VG tom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Sa 31.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
"man" weiss, dass sich die Seitenhalbierenden=Schwerlinien so teilen, und beim gleichseitegen dreieck sind ha Seiten und Winkelhalbierende dasselbe.Wenn man es nicht weiss kann man auch das Dreieck aus s/2, r, h-r und Pythagoras nehmen
Gruss leduart
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