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Hallo zusammen,
brauche bei meiner Vorbereitung auf die Analysis III Klausur unbedingt eure Hilfe bei folgender Aufgabe.
Aus der Kugel [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} \le R^{2} [/mm] wird ein Zylinder [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le A^{2} [/mm] herausgebohrt, wobei A < R (logisch  ) ist. Man berechne das Volumen des Restkörpers (Volumen der durchbohrten Kugel).
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{A}^{R} \integral_{0}^{\wurzel{R^{2} - r^{2}}}{r dz dr d\delta}
[/mm]
Als Lösung erhalte ich:
[mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \wurzel{R^{2} - A^{2}}^{3}
[/mm]
Im Lösungsbuch steht jedoch,
[mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \wurzel{R^{2} - A^{2}}^{3}
[/mm]
nach mehrmaligem nachrechnen behaupte ich einfach mal es handelt sich dabei im Lösungsbuch um einen Druckfehler. Kann von euch jemand meine Theorie stärken oder heißt es tatsächlich [mm] \bruch{4}{3}?
[/mm]
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Sa 25.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Prof.
Die Formel im Lösungsbuch ist sicher für A=0 richtig, deine nicht!
Nachgerechnet hab ich nicht!
Gruss leduart
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[mm]V_{\text{Gesamt}} = V_{\text{Kugel}} - 2 V_{\text{Segment}} - V_{\text{Zylinder}}[/mm]
[mm]V_{\text{Kugel}} = \frac{4}{3} \pi R^3[/mm]
[mm]V_{\text{Segment}} = \pi \int_{\sqrt{R^2 - A^2}}^{R}~\left( R^2 - x^2 \right)~\mathrm{d}x = \pi \left( \frac{2}{3} R^3 - \frac{1}{3} \left( 2R^2 + A^2 \right) \sqrt{R^2 - A^2} \right)[/mm]
[mm]V_{\text{Zylinder}} = 2 \pi A^2 \sqrt{R^2 - A^2}[/mm]
Alles zusammen:
[mm]V_{\text{Gesamt}} = \frac{4}{3} \pi \left( R^2 - A^2 \right)^{\frac{3}{2}}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:37 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo ihr beiden,
danke für eure äußerst schnellen Antworten. Die Sache mit A = 0 hätte ich mir denken können. Daher kann meine
Lösung nicht richtig sein.
Ich werde es also noch einmal durch gehen - morgen
Danke nochmals
Gruß
Prof.
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