Volumen von Pyramiden (Sarrus) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Kordsy |
In der Lösung einer Übungsaufgabe zur Berechnung des Volumens einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, gab es folgenden Lösungsansatz:
1/6*|det AB; AC; AD|
Also die Determinante der drei Verbindungsvektoren von Spitze zu jeweils einem der drei Eckpunkte der Grundfläche. Das wurde als "Regel des Sarrus" bezeichnet. Diese sog. "Jägerzaunregel" ist mir auch durchaus bekannt. Wie jedoch das Volumen dadurch berechnet werden kann und warum gerade mit 1/6 multipliziert werden muss, habe ich aber nich nicht verstanden.
Da dies eine sehr einfache Methode zur Berechnung des Volumens ist, würde ich dies auch gerne in Abiturarbeit nutzen, die wir übermorgen (Mittwoch, 25.01.) schreiben werden. Jedoch verlangt unser Lehrer eine Herleitung oder zumindest kleine Erklärung zu der o.a. Formel.
Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr verbunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 24.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kordsy
1. Wenn du die Determinante aus 3 zueinander senkrechten Vektoren berechnest, ist das das Produkt ihrer Beträge, also das Volumen des entsprechenden Quaders. Am einfachsten siehst du das, wenn du die 3 Vektoren in der Standardbasis [mm] \vektor{a \\ 0\\0}, \vektor{0 \\ b\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0\\c} [/mm] hinschreibst.
2. Determinanten ändern sich nicht, wenn man zu einem Zeilen oder Spaltenvektor eine Linearkombination der Anderen addiert. dadurch wird aber aus dem Quader ein "Parallelepiped", das nach Cavalieri dasselbe Volumen hat.
(der ehemalige Quader hat jetzt Parallelogramme als Seiten.)
3. Einen Würfel kann man in 3 kongruente (schiefe) Pyramiden mit quadratischer Grundfläche teilen. die haben dann 1/3 des Volumens. Durch Scheren und Strechen kann man daraus wieder einen Quader,bzw,Parallelepiped gleichen Volumens machen, die Pyramiden sind jetzt nicht mehr kongruent, aber noch immer volumengleich.
(Das wird i.A benutzt um das Volumen eines spitzen Körpers als V=G*h/3 herzuleiten)
6.Wenn du durch die Diagonale der Grundfläche und die Spitze halbierst, hast du 6 Volumengleiche "Tetraeder" daher der Faktor 1/6!
7. dass du jetzt die Vektoren des Tetraeders verwenden kannst, liegt wieder daran, dass man die Det, nicht ändert, wenn man linearkomb. von Zeilen oder Spaltenvektoren zu einer Zeile oder Spalte addiert.
Das ist nicht genau ein Beweis, aber wohl die anschaulichsten Argumente.
Gruss leduart
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