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| Aufgabe | D sei das gebiet das sich aus dem Kegelstumpf
K = [mm] \{(x,y,z)^T \in \IR^3 |\mbox{ \wurzel{x^2 +y^2} \le \bruch{-z + 3}{2}, z \ge 1 }\}
[/mm]
und dem Zylinder
Z = [mm] \{(x,y,z)^T \in \IR^3 |\mbox{ x^2 +y^2 \le 1 \wedge 0 \le z \le 1 }\}
[/mm]
zusammensetzt.
Bestimme das Volumen |
Hallo,
ich habe immer das Problem die richtigen Integrationsgrenzen zu finden....die Integration selber ist nicht das Problem.
und zwar weiß ich ja, dass die Grundfläche des Zylinders [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 ist,
daher habe ich jetzt nach x aufgelöst und [mm] \pm \wurzel{1-y^2} [/mm] herausbekommen, das wären also meine Integrationsgrenzen für die x-Komponente [mm] (\integral_{-\wurzel{1-y^2} }^{\wurzel{1-y^2} }{f(x) dx}), [/mm] die Grenzen für z sind mir mit o und 1 ja schon in der aufgabenstellung gegeben.
So nun hätte ich das was ich mit x gemacht habe auch für y gemacht also nach [mm] \pm \wurzel{1-x^2} [/mm] aufgelöst, und dieses dann als grenzen eingesetzt....in meiner Lösung sind hier aber die grenzen -1 und 1 gewählt.
Ich mach das immer falsch aber weiß auch nicht worauf ich achten muss.
Ist bestimmt ganz einfach....aber ich weiß es nicht^^
Kann mir das jemand erklären?
Gruß Aldiimwald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 01.08.2010 | | Autor: | abakus |
> D sei das gebiet das sich aus dem Kegelstumpf
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> K = [mm]\{(x,y,z)^T \in \IR^3 |\mbox{ \wurzel{x^2 +y^2} \le \bruch{-z + 3}{2}, z \ge 1 }\}[/mm]
>
> und dem Zylinder
>
> Z = [mm]\{(x,y,z)^T \in \IR^3 |\mbox{ x^2 +y^2 \le 1 \wedge 0 \le z \le 1 }\}[/mm]
>
> zusammensetzt.
>
> Bestimme das Volumen
> Hallo,
>
> ich habe immer das Problem die richtigen
> Integrationsgrenzen zu finden....die Integration selber ist
> nicht das Problem.
>
> und zwar weiß ich ja, dass die Grundfläche des Zylinders
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1 ist,
Hallo,
für sämtliche Punkte deiner Kreisfläche gilt, dass ihre x-Koordinate zwischen -1 und 1 liegt (aufzeichnen!), also ist die Fläche des oberen Halbkreises das Integral von [mm] +\wurzel{1-x^2} [/mm] in den Grenzen von -1 bis 1.
Gruß Abakus
> daher habe ich jetzt nach x aufgelöst und [mm]\pm \wurzel{1-y^2}[/mm]
> herausbekommen, das wären also meine Integrationsgrenzen
> für die x-Komponente [mm](\integral_{-\wurzel{1-y^2} }^{\wurzel{1-y^2} }{f(x) dx}),[/mm]
> die Grenzen für z sind mir mit o und 1 ja schon in der
> aufgabenstellung gegeben.
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> So nun hätte ich das was ich mit x gemacht habe auch für
> y gemacht also nach [mm]\pm \wurzel{1-x^2}[/mm] aufgelöst, und
> dieses dann als grenzen eingesetzt....in meiner Lösung
> sind hier aber die grenzen -1 und 1 gewählt.
>
> Ich mach das immer falsch aber weiß auch nicht worauf ich
> achten muss.
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> Ist bestimmt ganz einfach....aber ich weiß es nicht^^
>
> Kann mir das jemand erklären?
>
> Gruß Aldiimwald
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aber das gilt für y ja auch!
ich habe es mir jetzt so erklärt, dass ich ja x bereits in abhängigkeit von y beschrieben habe diese also fest zusammenhängen, ich für den rest der betrachtung also das x herausfallen lassen kann, dass nurnoch [mm] y^2 [/mm] = 1 dort steht und ich somit auf die grenzen -1 und 1 komme.
habe ich das richtig verstanden?
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Hallo!
Ich verstehe deinen letzten Beitrag nicht so richtig...
Generell ist es oft egal, wie rum man die grenzen aufzieht. In deinem Fall ist die Figur ja auch völlig symmetrisch in x und y, das heißt, du kannst [mm] x\in[-1;+1] [/mm] oder umgekehrt [mm] y\in[-1;1] [/mm] festlegen, und anschließend hinschreiben, wie du die Grenzen von y bzw x daraus berechnest.
Denk dran, daß der maximale Wert von z dann von x UND y abhängt.
Du kannst übrigens auch von z aus gehen:
[mm] z\in[0;3]
[/mm]
Dummerweise geht der Zylinder bei z=1 in den Kegel über, sodaß du im Zylinder wie gehabt
[mm] x\in[-1;+1] [/mm] und [mm] y\in[-\sqrt{1-x^2};+\sqrt{1-x^2}] [/mm] hast.
Im Kegelteil ist nun [mm] x\in\left[-\frac{-z+3}{2};+\frac{-z+3}{2}\right] [/mm] und [mm] y\in\left[-\sqrt{\left(\frac{-z+3}{2}\right)^2-x^2};+\sqrt{\left(\frac{-z+3}{2}\right)^2-x^2}\right]
[/mm]
Aber da vergeht einem die Lust am Integrieren.
Generell suchst du zunächst eine Richtung aus, und schaust, welchen minimalen und maximalen Wert das Integrationsgebiet in dieser Richtung hat. Dann schaust du, welche nächste Richtung unmittelbar von dieser einen abhängt, und wie die dritte von den anderen beiden abhängt. Dabei sollten die Integrationsgrenzen möglichst einfach bleiben. Es gibt wie hier Fälle, wo mehrere Wege gleich gut zum Ziel führen, es kann aber auch sein, daß ein Weg gar nicht zum Ziel führt, da du die Abhängigkeiten nicht durch Funktionen ausdrücken kannst.
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