Volumen von Drehkörpern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des stromlinenförmigen Körpers, bei Rotation der Kurve
y = [mm] \wurzel{x}(3-x) [/mm] in den Grenzen a=0 und b=3 entsteht. (der Satz ist echt aus dem Lehrheft!) |
nun mein Ansatz
die Formel für derartige Volumen ist [mm] V_{rot x} [/mm] = [mm] \pi\integral_{a}^{b}{(y²) dx}
[/mm]
nun, mein Intervall ist 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
meine Funktion dementsprechend [mm] V_{rot x} [/mm] = [mm] \pi\integral_{0}^{3}{(y²) dx}
[/mm]
die Stammfunktion von y = [mm] \wurzel{x}(3-x) [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}*(3x-\bruch{x²}{2})
[/mm]
[mm] V_{rot x}= [/mm] F(3)-F(0) = [mm] \pi*\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{3}}*(3*3-\bruch{3²}{2}))^3}{3} [/mm] - 0
= [mm] \pi*\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{3}}*\bruch{9}{2})^3}{3}
[/mm]
bin ich da auf dem rechten Weg oder wird das Murks?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie das Volumen des stromlinenförmigen Körpers,
> bei Rotation der Kurve
>
> y = [mm]\wurzel{x}(3-x)[/mm] in den Grenzen a=0 und b=3 entsteht.
> (der Satz ist echt aus dem Lehrheft!)
> nun mein Ansatz
>
> die Formel für derartige Volumen ist [mm]V_{rot x}[/mm] =
> [mm]\pi\integral_{a}^{b}{(y²) dx}[/mm]
>
> nun, mein Intervall ist 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
>
> meine Funktion dementsprechend [mm]V_{rot x}[/mm] =
> [mm]\pi\integral_{0}^{3}{(y²) dx}[/mm]
>
> die Stammfunktion von y = [mm]\wurzel{x}(3-x)[/mm] ist
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(3x-\bruch{x²}{2})[/mm]
Nö. Du kannst nicht einfache faktorenweise integrieren. (Sonst würde es umgekehrt auch keine Produktregel zum Ableiten geben).
>
> [mm]V_{rot x}=[/mm] F(3)-F(0) =
> [mm]\pi*\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{3}}*(3*3-\bruch{3²}{2}))^3}{3}[/mm]
> - 0
>
> = [mm]\pi*\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{3}}*\bruch{9}{2})^3}{3}[/mm]
>
> bin ich da auf dem rechten Weg oder wird das Murks?
Hallo,
es ist viel einfacher. Bitte ZUERST [mm] y^2 [/mm] = [mm](\wurzel{x}(3-x))^2[/mm] bilden und vereinfachen, DANACH vom erhaltenen Term die Stammfunktion bilden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
ich komme da leider nicht ganz mit ...
y²= [mm] (\wurzel{x}*(3-x))² [/mm] vereinfachen ist ein einfacher Weg?
Ich denke y² muss ich ja so lassen, dafür will ich die Stammfunktion ja dann einsetzen, d.h.
ich kann [mm] (\wurzel{x}*(3-x))² [/mm] über den Binomischen Weg auflösen, aber das ist aus meiner Sicht alles
andere als einfach.
[mm] (\wurzel{x}*(3-x))² [/mm] = [mm] (\wurzel{x})²+2*\wurzel{x}*(3-x)+(3-x)² [/mm] = [mm] x+6\wurzel{x}-2x\wurzel{x}+(3²-2*3x+x²)
[/mm]
= [mm] x+6\wurzel{x}-2x\wurzel{x}+9-6x+x² [/mm] = [mm] x²-5x+6\wurzel{x}-2x\wurzel{x}+9 [/mm] usw.
war das so gemeint? und dann am Ende davon die Stammfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Du machst Dir gerade das Leben unnötig schwer. Es gilt doch:
[mm] $$y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \wurzel{x}*(3-x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{x} \ \right)^2*(3-x)^2 [/mm] \ = \ [mm] x*\left(9-6x+x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] 9x-6x^2+x^3$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 26.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Ja das ist so wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht ;)
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