Volumen um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 16.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Im Punkt P(2/y) der Funktion [mm] y=x^2+1 [/mm] wird an die Kurve die Tangente gelegt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktionskurve, Tangente und den positiven Koordinatenachsen.
Berechnen Sie den Rauminhalt des entstehenden Drehkörpers, wenn die Fläche um die y-Achse rotiert. |
Hallo,
die Flächenberechnung war mir so weit klar.
Zum Volumen hab ich allerdings eine Frage.
Ich integriere ja gemäß [mm] \pi *\integral_{a}^{b}{f(y)^2 dy}
[/mm]
Ich weiß dass die Tangente im Punkt (2/5) einen Schnittpunkt mit der Kurve hat.
Ich werde also in den Grenzen [mm] \integral_{0}^{5} [/mm] integrieren.
Muss ich nun, da ich ja zwei Gleichungen habe (Kurve/Tangente), beide Gleichungen gleichsetzen gemäß [mm] x^2+1=4x-3 [/mm] und das Ergebnis daraus integrieren oder wie funktioniert das?
Besten Dank und schöne Grüße
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Hallo drahmas,
> Im Punkt P(2/y) der Funktion [mm]y=x^2+1[/mm] wird an die Kurve die
> Tangente gelegt.
> Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen
> Funktionskurve, Tangente und den positiven
> Koordinatenachsen.
> Berechnen Sie den Rauminhalt des entstehenden
> Drehkörpers, wenn die Fläche um die y-Achse rotiert.
> Hallo,
>
> die Flächenberechnung war mir so weit klar.
>
> Zum Volumen hab ich allerdings eine Frage.
>
> Ich integriere ja gemäß [mm]\pi *\integral_{a}^{b}{f(y)^2 dy}[/mm]
>
> Ich weiß dass die Tangente im Punkt (2/5) einen
> Schnittpunkt mit der Kurve hat.
> Ich werde also in den Grenzen [mm]\integral_{0}^{5}[/mm]
> integrieren.
>
> Muss ich nun, da ich ja zwei Gleichungen habe
> (Kurve/Tangente), beide Gleichungen gleichsetzen gemäß
> [mm]x^2+1=4x-3[/mm] und das Ergebnis daraus integrieren oder wie
> funktioniert das?
Berechne das Volumen jede dieser Funktionen
bei Rotation um die y-Achse und subtrahiere
die Ergebnisse voneinander.
>
> Besten Dank und schöne Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 16.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke.
Muss ich das dann nach y Auflösen?
Also
y=4x-3
[mm] \bruch{3}{4}y=x
[/mm]
Ergibt [mm] \integral_{0}^{5}{(\bruch{3}{4}y)^2 dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{5}{\bruch{9}{16}y^2 dy} [/mm] Oder stimmt das so nicht?
Besten Dank
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Hallo drahmas,
> Okay, danke.
>
> Muss ich das dann nach y Auflösen?
> Also
> y=4x-3
> [mm]\bruch{3}{4}y=x[/mm]
>
Diese Umformung stimmt nicht.
> Ergibt [mm]\integral_{0}^{5}{(\bruch{3}{4}y)^2 dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{5}{\bruch{9}{16}y^2 dy}[/mm] Oder stimmt das so
> nicht?
>
Das stimmt nicht (s.o). ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Besten Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 16.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Ah, ich meine es müssen [mm] \bruch{3y}{4}=x [/mm] sein
[mm] \integral_{0}^{5}{(\bruch{3y}{4})^2 dy} [/mm]
So?
Die andere Funktion
[mm] y=x^2+1
[/mm]
[mm] -y=x^2
[/mm]
Muss ich dass dann noch mal quadrieren bevor ich integriere, oder kann ich das quadratisch stehen lassen?
Danke und Gruß
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Hallo drahmas,
> Ah, ich meine es müssen [mm]\bruch{3y}{4}=x[/mm] sein
>
> [mm]\integral_{0}^{5}{(\bruch{3y}{4})^2 dy}[/mm]
>
> So?
>
>
Aus y=4x-3 folgt nicht [mm]x=\bruch{3}{4}*y[/mm]
Vielmehr muss es heissen: [mm]x=\bruch{y+3}{4}[/mm]
> Danke und Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 16.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, das ist logisch, stimmt. Da hab ich nicht mitgedacht.
Wenn ich aber [mm] y=x^2+1 [/mm] umformen soll, dann erhalte ich ja [mm] -1+y=x^2.
[/mm]
Da dieser Term ja quadratisch ist, muss ich das dann noch mal quadrieren, bevor ich integriere also [mm] -1+y^2 [/mm] und dann integrieren oder nur -1+y und so integrieren?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Okay, das ist logisch, stimmt. Da hab ich nicht
> mitgedacht.
>
> Wenn ich aber [mm]y=x^2+1[/mm] umformen soll, dann erhalte ich ja
> [mm]-1+y=x^2.[/mm]
> Da dieser Term ja quadratisch ist, muss ich das dann noch
> mal quadrieren, bevor ich integriere also [mm]-1+y^2[/mm] und dann
> integrieren oder nur -1+y und so integrieren?
Hier musst Du nur -1+y integrieren.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 16.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke. Habe ich das dann so richtig integriert?
[mm] V_1: \pi*\integral_{0}^{5}{(\bruch{3}{4}+\bruch{y}{4})^2 dy}=\pi*\integral_{0}^{5}\bruch{9}{16}+\bruch{y^2}{4}=\bruch{9}{16}^2+\bruch{\bruch{y^3}{4}}{3}\integral_{0}^{5}
[/mm]
[mm] V_2:\pi*\integral_{0}^{5}{-1+y dy}=\pi*-1y+\bruch{y^2}{2}\integral_{0}^{5}
[/mm]
Schöne Grüße
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Hallo drahmas,
> Okay, danke. Habe ich das dann so richtig integriert?
>
> [mm]V_1: \pi*\integral_{0}^{5}{(\bruch{3}{4}+\bruch{y}{4})^2 dy}=\pi*\integral_{0}^{5}\bruch{9}{16}+\bruch{y^2}{4}=\bruch{9}{16}^2+\bruch{\bruch{y^3}{4}}{3}\integral_{0}^{5}[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Eine Summe zum Quadrat ist nicht
die Summe der Quadrate ihrer Summanden.
> [mm]V_2:\pi*\integral_{0}^{5}{-1+y dy}=\pi*-1y+\bruch{y^2}{2}\integral_{0}^{5}[/mm]
>
Hier muss doch die Untergrenze von 1 loslaufen.
> Schöne Grüße
Gruss
MathePower
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