Volumen maximieren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche Proportionen besitzt ein keilförmiges Prisma der Höhe $l$ über einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten $a$ und $b$, das bei gegebener Oberfläche das maximale Volumen erhält. |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ab hier kann alles falsch sein:
Volumen: V= [mm] \bruch{a*b*l}{2}
[/mm]
Oberfläche: O = [mm] $\bruch{a*b}{2} [/mm] * 2 + b*l + a*l + [mm] \wurzel{a^2 + b^2}*l [/mm] = C$ (Wobei $C$ irgendeine Konstante ist)
Da wir an den Proportionen interessiert sind setzen wir:
a=a
b=a*x
l=a*y
nun können wir sicher obdA annehmen dass a=1 ist, und erhalten:
Volumen: $V= [mm] \bruch{x*y}{2}$
[/mm]
Oberfläche: $O = x + x*y + y + [mm] \wurzel{1 + x^2}*y=C$
[/mm]
Jetzt bekomme ich aber ein Problem.. denn die Oberfläche ist bestimmt durch C, aber ich kann ja nicht C auch noch 1 setzen, da a ja schon 1 ist, oder mache ich hier einen Denkfehler???
Oder kann mir jemand auf die Sprünge helfen wie ich hier das Gleichungssystem OHNE TR lösen kann?
Herzlichen Dank.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathwizard!
Belasse den Wert $O_$ der Oberfläche (bzw. auch $C_$ ) als konstant und fest vorgegeben.
Damit kannst Du die Gleichung [mm]O = x + x*y + y + \wurzel{1 + x^2}*y=C[/mm] nun z.B. nach $y \ = \ ...$ umstellen und in die Volumenformel einsetzen.
Der Wert $O_$ (oder $C_$ ) bleibt dann als Konstante erhalten.
Gruß
Loddar
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Danke für deine Antwort.
Ich habe es auch auf diesem Weg versucht, jedoch kann die Gleichung dann nie aufgelöst werden schlussendlich.. formal ausgedrückt:
y = [mm] \bruch{-(x-C)}{\wurzel{x^2+1}+x+1}
[/mm]
eingesetzt in die V-Formel dann:
V = [mm] \bruch{-x*(x-C)}{\wurzel{x^2+1}+x+1}
[/mm]
wenn du jetzt V ableiten möchtest zum die kritischen Punkte herauszufinden, dann kriegst du schon ein Monster, aber um die Nullstellen dessen zu bestimmen, das schafft nicht einmal mein TR... die Aufgabe ist jedoch eine alte Prüfungsaufgabe, es sollte also alles von Hand gelöst werden.. :O
vielleicht bin ich auch völlig falsch an die Aufgabe herangegangen.. kA ?
Danke für weitere Hilfe !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Fr 15.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht ist es einfacher die Oberfläche bei konst. Volumen zu minimieren?
Oder ein Argument, warum es dasselbe Problem ist wie für einen Quader?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Fr 15.09.2006 | | Autor: | mathwizard |
Das Argument, dass man es als Quaderaufgabe sehen sollte hält nicht, da die Oberflächen ziemlich anders sind bei den beiden Körpern.
Was das Volumen angeht, sind sie sicher ähnlich.
Sind hier alle der Meinung dass das Volumen maximieren bei gegebener Oberfläche, das gleiche ist wie die Oberfläche maximieren bei gegebenem Volumen? bin mar da nämlich nicht so sicher... die Aufgabe würde aber einfacher werden dadurch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 17.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, mathwizard,
wieso meinst Du, Du könntest obdA a=1 setzen?!
Ich vermute (ohne es berechnet zu haben), dass das maximale Volumen für a=b rauskommt; dann wäre letztlich b auch gleich 1 und nur noch l veränderlich.
Wenn über den Zusammenhang zwischen a, b und l nichts weiter gegeben ist, wird Dir nichts anderes übrig bleiben als V in Form einer Funktion mit ZWEI unabhängigen Variablen aufzufassen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 15.09.2006 | | Autor: | mathwizard |
Hallo, danke für deinen Input,
Ich habe nun mal probiert a=a, b=a*x, l=a*y zu setzen,
d.h.
Volumen: $ V= [mm] \bruch{a^3\cdot{}x\cdot{}y}{2} [/mm] $
Oberfläche: $ O [mm] =a^2*( [/mm] x + [mm] x\cdot{}y [/mm] + y + [mm] \wurzel{1 + x^2}\cdot{}y)=C [/mm] $
Dann Oberfläche nach y aufgelöst und in die Volumengleichung eingesetzt, dann nach x abgeleitet,... monsterterm... :O
Sorry.. aber das war mal an einer Prüfung OHNE Taschenrechner.. es ist also irgend ein *Trick*.. nur sehe ich ihn nicht.. hat jemand eine völlig andere Methode gefunden?..
Werde noch wahnsinnig ab dieser Aufgabe. :'(
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Es soll wohl das maximale Volumen in Abhängigkeit von der fest vorgegebenen Oberfläche [mm]C[/mm] bestimmt werden. Ich würde vorschlagen, die Hypotenuse [mm]x[/mm] und den Winkel [mm]\varphi[/mm], den [mm]a[/mm] und [mm]x[/mm] einschließen, als Variablen zu nehmen. Dann gilt
[mm]a = x \cdot \cos{\varphi} \, , \ \ b = x \cdot \sin{\varphi}[/mm]
Die Nebenbedingung lautet:
[mm]ab + (a+b+x) \, l = C[/mm]
Setzt man die obigen Ausdrücke für [mm]a,b[/mm] ein, so folgt
[mm]l = \frac{C - x^2 \sin{\varphi} \cos{\varphi}}{x \left( \sin{\varphi} + \cos{\varphi} + 1 \right)} = \frac{\left( \sin{\varphi} + \cos{\varphi} - 1 \right) \left(C - x^2 \sin{\varphi} \cos{\varphi} \right)}{2x \sin{\varphi} \cos{\varphi}}[/mm]
Jetzt kann man [mm]V = \frac{1}{2} abl[/mm] allein durch [mm]x,\varphi[/mm] ausdrücken:
[mm]V = \frac{1}{4} x \left( \sin{\varphi} + \cos{\varphi} - 1 \right) \left(C - x^2 \sin{\varphi} \cos{\varphi} \right)[/mm]
Die partiellen Ableitung nach [mm]x[/mm] bzw. [mm]\varphi[/mm] sind
[mm]V_x = \frac{1}{4} \left( \sin{\varphi} + \cos{\varphi} - 1 \right) \left( C - 3x^2 \sin{\varphi} \cos{\varphi} \right)[/mm]
[mm]V_{\varphi} = \frac{1}{4} x \left( \sin{\varphi} - \cos{\varphi} \right) \left( x^2 \left( 1 + 3 \sin{\varphi} \cos{\varphi} - \sin{\varphi} - \cos{\varphi} \right) - C \right)[/mm]
Für [mm]\varphi[/mm] kommen Werte [mm]\in \left( 0 \, , \, \frac{\pi}{2} \right)[/mm] in Betracht. Hierfür ist [mm]\sin{\varphi} + \cos{\varphi} - 1 > 0[/mm], so daß aus [mm]V_x = 0[/mm] die Beziehung
[mm]x^2 = \frac{C}{3 \sin{\varphi} \cos{\varphi}}[/mm]
folgt. Wegen [mm]x>0[/mm] kann man in [mm]V_{\varphi} = 0[/mm] den Faktor [mm]x[/mm] unberücksichtigt lassen, [mm]x^2[/mm] wird gemäß der letzten Gleichung ersetzt. Man erhält
[mm]\left( \sin{\varphi} - \cos{\varphi} \right) \left(\frac{C}{3 \sin{\varphi} \cos{\varphi}} \left( 1 + 3 \sin{\varphi} \cos{\varphi} - \sin{\varphi} - \cos{\varphi} \right) - C \right) = 0[/mm]
[mm]\frac{\cos{\varphi} + \sin{\varphi} - 1}{3 \sin{\varphi} \cos{\varphi}} \, \left( \cos{\varphi} - \sin{\varphi} \right) = 0[/mm]
Den Bruch kann man wieder mit [mm]\sin{\varphi} + \cos{\varphi} + 1[/mm] erweitern und bekommt
[mm]\frac{\cos{\varphi} - \sin{\varphi}}{3 \left(\sin{\varphi} + \cos{\varphi} + 1 \right)} = 0[/mm]
Und hieraus folgt [mm]\sin{\varphi} = \cos{\varphi}[/mm], also [mm]\varphi = \frac{\pi}{4}[/mm]. Das Dreieck ist also gleichschenklig-rechtwinklig.
Die restlichen Größen [mm]x,a,b,l,V[/mm] können jetzt durch Einsetzen in die entsprechenden Gleichungen bestimmt werden.
Irgendwie leuchtet ja ein, daß das Dreieck gleichschenklig sein muß (wenn nämlich das Maximum für gewisse [mm]a,b[/mm] erreicht wird, so muß dieses Maximum auch angenommen werden, wenn man die Werte von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] vertauscht). Und da liegt es nahe, gleich von vorneherein [mm]a=b[/mm] anzunehmen. Aber wie kann man das stichhaltig begründen?
Vielleicht wäre das auch einmal ein Fall, wo man mit der Lagrangeschen Multiplikatorregel schneller ans Ziel kommt. Einen Versuch wäre es wert.
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