Volumen eines Zylinders < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Eine Funktion f mit Graph K ist gegeben durch:
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x * [mm] \wurzel[2]{4-x^{2}} [/mm] , x [mm] \in [/mm] D
f). Die Fläche zwischen K und der positiven x-Achse rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie den Rauminhalt des Drehkörpers!
g). Der Drehkörper soll aus einem möglichst kleinen Zylinder mit gleicher Achse hergestellt werden. Bestimmen Sie den Abfall in Prozent! |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe zu erledigen und komme bei g). nicht weiter.
Bei f). habe ich das Ergebnis [mm] \bruch{64}{15} [/mm] * [mm] \pi [/mm] raus.
Nun kommen wir zu g). Ich weiß nämlich nicht wie ich es berechnen soll. Wenn da stehen würde den größten Volumen, dann würde ich das vielleicht hinbekommen, aber kleinsten?
Der Volumen kann doch winzig werden oder? Ich glaube ich verstehe die Aufgabe falsch.
Kann mir jemand den Anfangspunkt geben? Vielleicht verstehe ich dann was mit der Aufgabe gemeint ist.
Vielen Dank
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Fr 08.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Eine Funktion f mit Graph K ist gegeben durch:
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x * [mm]\wurzel[2]{4-x^{2}}[/mm] , x [mm]\in[/mm] D
>
> f). Die Fläche zwischen K und der positiven x-Achse rotiert
> um die x-Achse. Berechnen Sie den Rauminhalt des
> Drehkörpers!
> g). Der Drehkörper soll aus einem möglichst kleinen
> Zylinder mit gleicher Achse hergestellt werden. Bestimmen
> Sie den Abfall in Prozent!
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe zu erledigen und komme bei g). nicht
> weiter.
> Bei f). habe ich das Ergebnis [mm]\bruch{64}{15}[/mm] * [mm]\pi[/mm] raus.
> Nun kommen wir zu g). Ich weiß nämlich nicht wie ich es
> berechnen soll. Wenn da stehen würde den größten Volumen,
> dann würde ich das vielleicht hinbekommen, aber kleinsten?
> Der Volumen kann doch winzig werden oder? Ich glaube ich
> verstehe die Aufgabe falsch.
>
> Kann mir jemand den Anfangspunkt geben? Vielleicht verstehe
> ich dann was mit der Aufgabe gemeint ist.
Der Zylinder ist ein liegender Zylinder, dessen Achse mit der x-Achse übereinstimmt. Der muss natürlich so weit nach links und rechts ragen, dass der Rotationskörper von Anfang bis Ende (also über den geseamten Definitionsbereich) hineinpasst. Der Definitionsbereich ist also die Höhe des (hier liegenden) Zylinders.
Der Zylinder muss auch dick genug sein, dass auch der Kurvenpunkt mit dem weitesten Abstand zur x-Achse gerade noch in den Zylinder hineinpasst. Das betragsmäßige Maximum der gegebenen Funktion entspricht also dem Zylinderradius. Größer muss der Zylinder nicht sein.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank
>
> MfG
>
> sardelka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Gut, das habe ich verstanden. Habe auch eben überlegt wie ich das machen könnte, aber irgendwie finde ich immer noch kein Anfangspunkt.
Ich muss bestimmt Integralrechnung machen, aber mit welcher Funktion? Wie soll ich die aufstellen?
Danke sehr
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sardelka!
Du musst nunmehr mit der o.g. Funktion eine Extremwertberechnung durchführen (genauer: das Maximum im genannten Intervall / Definitionsbereich ermitteln).
Also: Nullstellen der 1. Ableitungen etc. ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Das hab ich ja schon, als ich die Kurvendiskussion gemacht habe.
Die Nullstellen sind 0 und 2.
Der Hochpunkt liegt bei [mm] (\wurzel[2]{2} [/mm] / 1).
Und jetzt?
Ich habe ja die Gleichung für´s Zylindervolumen: V= [mm] \pi [/mm] * [mm] r^{2} [/mm] * h
Ich muss doch damit arbeiten oder?
Aber was ist nun fest davon? Kann ich für h jetzt 2L.E. einsetzen? oder für r= [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] ?
Kann ich ja beides nicht, oder? Denn die hängen ja beide sozusagen voneinander ab.
Was jetzt? :(
Danke
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
> Kann ich für h jetzt 2L.E. einsetzen? oder für r= [mm]\wurzel[2]{2}[/mm] ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $h \ = \ 2$ ist okay. Für den Radius musst Du aber den Funktionswert $r \ = \ [mm] f\left(\wurzel{2}\right) [/mm] \ = \ 1$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Hööö?!
Beides einsetzen?!
Aber der soll doch möglichst klein werden? Dann müssen die doch anders sein, oder?
Wenn ich einsetze, kommt [mm] 4\pi [/mm] raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Ach soooooo!
Ich habe die Aufgabe genau andersrum verstanden! Dass der Zylinder in den Körper eingeschrieben werden muss.
Okej, dann ist alles klar. :D
Danke sehr noch mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
Siehe oben, da hatte ich noch einen Fehler übersehen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Ach ja, stimmt. Da habe ich jetzt auch selbst nicht aufgepasst))
Dann habe ich als Ergebnis [mm] 2\pi [/mm] raus.
Die Differenz ist dann 14/15 * [mm] \pi. [/mm]
Und in Prozent sind es dann 46,67%.
Ich hoffe, es ist richig))
Vielen Dank
MfG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Fr 08.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Gut, das habe ich verstanden. Habe auch eben überlegt wie
> ich das machen könnte, aber irgendwie finde ich immer noch
> kein Anfangspunkt.
>
> Ich muss bestimmt Integralrechnung machen, aber mit welcher
> Funktion? Wie soll ich die aufstellen?
Du brauchst die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, und es rotiert die in deiner Aufgabe gegebene Funktion.
>
> Danke sehr
>
> MfG
>
> sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
> Bei f). habe ich das Ergebnis [mm]\bruch{64}{15}[/mm] * [mm]\pi[/mm] raus.
Hier habe ich $V \ = \ [mm] \bruch{\red{16}}{15}*\pi$ [/mm] heraus.
In welchen Intervallgrenzen hast Du denn integriert?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
von 0 bis 2 habe ich integriert, man sollte ja das Volumen von der positiven x-Achse ausrechnen. Da sind bei mir Nullstellen 0 und 2. =/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Fr 08.08.2008 | | Autor: | sardelka |
Danke nochmals, habe mein Fehler gefunden)) Mal wieder ein Vorzeichenfehler)))
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