Volumen eines Körpers < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Glog |
| Aufgabe | | Bestimme das Volumen des Körpers K, der entsteht, wenn der Einheitskreis in der xz- Ebene mi Mittelpunkt M=(2,0,0) einmal um die z-Achse rotiert wird. |
Hallo zusammen
Den Körper kann ich skizzieren, er sieht wie ein Donut aus und die z-Achse geht durch das Loch in der Mitte.
[mm] x\in(-3, -1)\cup(1,3), y\in(-3,-1)\cup(1,3) [/mm] und [mm] z\in(-1,1)
[/mm]
Jetzt weiss ich aber nicht, wie ich das Volumen berechnen soll. Ich müsste ja ein Dreifach-Integral nach den Variablen x, y und z aufstellen. Die Funktion f(x,y) weiss ich aber nicht, wie die aussieht. Sicherlich müsste man etwas mit der Fläche des Einheitskreises machen können, also [mm] r^{2}\pi. [/mm] Denke das Volumen kann man mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri berechnen. Dieses besagt ja, dass 2 Körper das gleiche Volumen haben, sofern sie die Schnittflächen den gleichen Flächeninhalt haben. Wie kann ich das Prinzip von Cavalieri auf diese Aufgabe anwenden? Kann mir das schlecht vorstellen... Wie müsste ich die Schnittfläche gestalten? Parallel zur yx-Ebene oder parallel zur zx-Ebene?
Wäre für Hilfe echt dankbar, liebe Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Glog,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme das Volumen des Körpers K, der entsteht, wenn der
> Einheitskreis in der xz- Ebene mi Mittelpunkt M=(2,0,0)
> einmal um die z-Achse rotiert wird.
> Hallo zusammen
>
> Den Körper kann ich skizzieren, er sieht wie ein Donut aus
> und die z-Achse geht durch das Loch in der Mitte.
> [mm]x\in(-3, -1)\cup(1,3), y\in(-3,-1)\cup(1,3)[/mm] und
> [mm]z\in(-1,1)[/mm]
>
> Jetzt weiss ich aber nicht, wie ich das Volumen berechnen
> soll. Ich müsste ja ein Dreifach-Integral nach den
> Variablen x, y und z aufstellen. Die Funktion f(x,y) weiss
> ich aber nicht, wie die aussieht. Sicherlich müsste man
> etwas mit der Fläche des Einheitskreises machen können,
> also [mm]r^{2}\pi.[/mm] Denke das Volumen kann man mit Hilfe des
> Prinzips von Cavalieri berechnen. Dieses besagt ja, dass 2
> Körper das gleiche Volumen haben, sofern sie die
> Schnittflächen den gleichen Flächeninhalt haben. Wie kann
> ich das Prinzip von Cavalieri auf diese Aufgabe anwenden?
Das Volumen ist doch der Weg des Schwerpunkts
des gegebenen Kreises multipliziert mit dessen Fläche.
> Kann mir das schlecht vorstellen... Wie müsste ich die
> Schnittfläche gestalten? Parallel zur yx-Ebene oder
> parallel zur zx-Ebene?
>
> Wäre für Hilfe echt dankbar, liebe Grüsse
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Glog |
Was bedeutet "der Weg des Schwerpunktes"? Also der Schwerpunkt S wäre S=(0,0,0). Dann wäre der "Weg" bis zum Mittelpunkt des Einheitskreises =2 und die Fläche des Einheitskreises [mm] =\pi. [/mm] Also [mm] 2*\pi, [/mm] habe den Eindruck, dass das ein wenig klein ist für das Volumen des gesamten Körpers.
Oder müsste ich S=(0,0,0) wählen und dann den Umfang des Kreises, welcher der Weg bis zu M beschreibt ausrechnen, also [mm] 4*\pi. [/mm] Dann dies mit der Fläche des Einheitskreises multiplizieren, das wäre dann [mm] 4*\pi^{2}?
[/mm]
Oder müsste ich statt der Fläche des Einheitskreises die Schnittfläche der xy-Ebene nehmen? Also [mm] 3^{2}*\pi [/mm] - [mm] 1^{2}\pi=8\pi? [/mm] Was wäre denn hier der Weg des Schwerpunktes?
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Hallo Glog,
> Was bedeutet "der Weg des Schwerpunktes"? Also der
> Schwerpunkt S wäre S=(0,0,0). Dann wäre der "Weg" bis zum
> Mittelpunkt des Einheitskreises =2 und die Fläche des
> Einheitskreises [mm]=\pi.[/mm] Also [mm]2*\pi,[/mm] habe den Eindruck, dass
> das ein wenig klein ist für das Volumen des gesamten
> Körpers.
>
> Oder müsste ich S=(0,0,0) wählen und dann den Umfang des
> Kreises, welcher der Weg bis zu M beschreibt ausrechnen,
> also [mm]4*\pi.[/mm] Dann dies mit der Fläche des Einheitskreises
> multiplizieren, das wäre dann [mm]4*\pi^{2}?[/mm]
>
> Oder müsste ich statt der Fläche des Einheitskreises die
> Schnittfläche der xy-Ebene nehmen? Also [mm]3^{2}*\pi[/mm] -
> [mm]1^{2}\pi=8\pi?[/mm] Was wäre denn hier der Weg des
> Schwerpunktes?
Ich habe hier eine der ![[]](/images/popup.gif) Guldinschen Regeln beschrieben.
Durch die Rotation des Schwerpunktes,
das ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises,
entsteht wiederum ein Kreis.
Der Umfang dieses Kreises ist gemeint.
Dies multipizierst Du mit der erzeugenden Fläche,
das ist hier der Einheitskreis.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Glog |
Hallo MathePower
Das würde heissen, dass der beschriebene Kreis in dem Fall Umfang [mm] 4\pi [/mm] hat und dies multipliziere ich mit [mm] \pi [/mm] (Fläche Einheitskreis). Dies ergibt ein Volumen von [mm] 4\pi^{2}.
[/mm]
Vielen Dank!
Liebe Grüsse Glog
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