Volumen einer Schachtel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:37 Di 30.01.2007 | | Autor: | kju |
| Aufgabe | Aus einem Stück Karton, mit den Seitenlängen l=30cm und b=20cm, soll eine Schachtel hergestellt werden. Der Boden (a) der Schachtel ist quadratisch. Die Höhe ist als x anzugeben. Welcher Wert muss für x gewählt werden, damit das größtmögliche Volumen erreicht wird (V(x) => kubische Funktion)?
Tipp: 0 < x < 10 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben diese Aufgabe gestern im Mathematikunterricht als Hausaufgabe bekommen. Dazu sei gesagt, dass wir Differentialrechnung noch nicht durchgenommen haben. Hier erstmal meine Ansätze:
Aus dem Stück Karton müssen Stücke herausgeschnitten werden, damit daraus eine Schachtel geformt werden kann. Hierzu habe ich folgende Terme aufgestellt:
20 = a + 2x
30 = 2a + 2x
50 = 3a + 4x
50 - 4x = 3a
[mm] \bruch{50}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] = a
Nun komme ich zum Volumen:
V = a * b * c
=> a ist ein Quadrat, daher:
V(x) = [mm] a^2 [/mm] * x
Jetzt setze ich für a die Umformung von oben ein:
V(x) = [mm] \left( \bruch{50}{3} - \bruch{4}{3}x \right)^2 [/mm] * x
Binomische Formel:
V(x) = [mm] \left( \bruch{2500}{9} - \bruch{400}{9}x + \bruch{16}{9}x^2 \right) [/mm] * x
V(x) = [mm] \bruch{2500}{9}x [/mm] - [mm] \bruch{400}{9}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{16}{9}x^3
[/mm]
V(x) = [mm] \bruch{16}{9}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{400}{9}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{2500}{9}x [/mm]
Ableitung:
V'(x) = [mm] \bruch{48}{9}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{800}{9}x [/mm] + [mm] \bruch{2500}{9}
[/mm]
V'(x) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{7200}{432}x [/mm] + [mm] \bruch{22500}{432}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{7200}{864} [/mm] + [mm] \wurzel{\left( \bruch{7200}{864} \right)^2 - \bruch{22500}{432}}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 12,5
=> Randbedingung (0 < x < 10) nicht erfüllt
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{7200}{864} [/mm] - [mm] \wurzel{\left( \bruch{7200}{864} \right)^2 - \bruch{22500}{432}}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{25}{6}
[/mm]
Soweit, so.. "schlecht". Denn wenn ich a ausrechne indem ich x einsetze:
a = [mm] \bruch{50}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] \bruch{25}{6}
[/mm]
a = [mm] \bruch{300}{18} [/mm] - [mm] \bruch{100}{18}
[/mm]
a = [mm] \bruch{200}{18}
[/mm]
so stimmen die Seitenverhältnisse nicht mehr, denn die länge ist um [mm] \bruch{5}{9} [/mm] zu lang und die breite um [mm] \bruch{5}{9} [/mm] zu kurz:
[mm] \bruch{200}{18} [/mm] + [mm] \bruch{50}{6} [/mm] = [mm] \bruch{175}{9}
[/mm]
[mm] \bruch{400}{18} [/mm] + [mm] \bruch{50}{6} [/mm] = [mm] \bruch{275}{9}
[/mm]
Vielleicht hat ja jemand eine Idee was ich anders machen könnte..
Nachtrag:
Hier noch eine kleine Zeichnung; die schwarzen Felder sollen ausgeschnitten werden (Ausgenommen den schwarzen Linien  ).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Rene
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 30.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Aus einem Stück Karton, mit den Seitenlängen l=30cm und
> b=20cm, soll eine Schachtel hergestellt werden. Der Boden
> (a) der Schachtel ist quadratisch. Die Höhe ist als x
> anzugeben. Welcher Wert muss für x gewählt werden, damit
> das größtmögliche Volumen erreicht wird (V(x) => kubische
> Funktion)?
> Tipp: 0 < x < 10
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> wir haben diese Aufgabe gestern im Mathematikunterricht als
> Hausaufgabe bekommen. Dazu sei gesagt, dass wir
> Differentialrechnung noch nicht durchgenommen haben. Hier
> erstmal meine Ansätze:
>
> Aus dem Stück Karton müssen Stücke herausgeschnitten
> werden, damit daraus eine Schachtel geformt werden kann.
> Hierzu habe ich folgende Terme aufgestellt:
> 20 = a + 2x
> 30 = 2a + 2x
>
> 50 = 3a + 4x
> 50 - 4x = 3a
>
> [mm]\bruch{50}{3}[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}x[/mm] = a
>
> Nun komme ich zum Volumen:
> V = a * b * c
> => a ist ein Quadrat, daher:
> V(x) = [mm]a^2[/mm] * x
>
> Jetzt setze ich für a die Umformung von oben ein:
> V(x) = [mm]\left( \bruch{50}{3} - \bruch{4}{3}x \right)^2[/mm] * x
>
> Binomische Formel:
> V(x) = [mm]\left( \bruch{2500}{9} - \bruch{400}{9}x + \bruch{16}{9}x^2 \right)[/mm]
> * x
>
> V(x) = [mm]\bruch{2500}{9}x[/mm] - [mm]\bruch{400}{9}x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{16}{9}x^3[/mm]
>
> V(x) = [mm]\bruch{16}{9}x^3[/mm] - [mm]\bruch{400}{9}x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{2500}{9}x[/mm]
>
> Ableitung:
> V'(x) = [mm]\bruch{48}{9}x^2[/mm] - [mm]\bruch{800}{9}x[/mm] +
> [mm]\bruch{2500}{9}[/mm]
> V'(x) = [mm]x^2[/mm] - [mm]\bruch{7200}{432}x[/mm] + [mm]\bruch{22500}{432}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{7200}{864}[/mm] + [mm]\wurzel{\left( \bruch{7200}{864} \right)^2 - \bruch{22500}{432}}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = 12,5
>
> => Randbedingung (0 < x < 10) nicht erfüllt
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{7200}{864}[/mm] - [mm]\wurzel{\left( \bruch{7200}{864} \right)^2 - \bruch{22500}{432}}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{25}{6}[/mm]
>
> Soweit, so.. "schlecht". Denn wenn ich a ausrechne indem
> ich x einsetze:
>
> a = [mm]\bruch{50}{3}[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}[/mm] * [mm]\bruch{25}{6}[/mm]
> a = [mm]\bruch{300}{18}[/mm] - [mm]\bruch{100}{18}[/mm]
> a = [mm]\bruch{200}{18}[/mm]
>
> so stimmen die Seitenverhältnisse nicht mehr, denn die
> länge ist um [mm]\bruch{1}{6}[/mm] zu lang und die breite um
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] zu kurz. Vielleicht hat ja jemand eine Idee
> was ich anders machen könnte..
>
> Grüße,
>
> Rene
die grundfläche ist ein quadrat mit der seitenlänge a, die höhe sei x.
dann beträgt das volumen der schachtel V = a²x
ich gehe davon aus, dass man die schachtel so wie in der schule bastelt, also in den 4 ecken je ein quadrat der seitenlänge x wegschneidet.
dann hast du [mm]2x + a\leq b\leq a [/mm]und daraus die beziehung (nebenbedingung)
a = b - 2x
und damit
V=x(b-2x)²
was als maximum [mm]x=\frac{b}{6}[/mm] ergibt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 30.01.2007 | | Autor: | kju |
Wenn ich b einsetze, komme ich auf x = [mm] \bruch{20}{6}, [/mm] a = [mm] \bruch{80}{6}. [/mm] Die Rechnung geht dann zwar wunderbar mit
b = a + 2x
auf, doch die Länge
l = 2a + 2x = 30
darf nicht verändert werden. Bei x = [mm] \bruch{20}{6} [/mm] würden hier l = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 30.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rive hat die in solchen Aufgaben oft vorkommende Schachtel ohne Deckel gebastelt, allerdings nicht quadratisch.
wenn Deine Aufgabe wirklich nen quadratischen Boden haben soll, und nen Deckel, also so wie deine Zeichnung, dann sind deine 2 Gleichungen:
20=a+2x
30=2a+2x
und durch Subtraktion hast du dann 10=a
unde damit x=5
d.h. es gibt gar keine andere Loesung, es sei denn man verwendet das Papier anders als du zeichnest.
Jetzt kommts auf die formulierung der Aufgabe an!
Stammt die Zeichnung von dir oder aus der Aufgabe? ist klar, obs ne offene Schachtel, oder ein geschlossener Quader sein soll? muss der Boden quadratisch sein?
Letzte Frage: du sagst, ihr habt noch keine Diff.rechnung, differenzierst aber lustig drauflos?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 30.01.2007 | | Autor: | kju |
Hallo leduart!
Besten Dank für deine Antwort.. hatte es auch erst mit dem Additionsverfahren gemacht, allerdings habe ich mich wohl zu sehr darauf versteift dass mein Lehrer meinte dass dies eine kubische Funktion ist. Wollte wohl damit nur einen Hinweis darauf geben, wie die Funktion V aussehen soll.
Die Zeichnung ist nicht von mir, sondern vom Lehrer auf die Tafel geschrieben. Der Boden muss quadratisch sein und die Schachtel geschlossen (deswegen das quadratische Feld mit der Seitenlänge a am rechten Ende des Rechtecks).
Ja, Diff.rechnung haben wir noch nicht durchgenommen. Habe mich im Internet ein wenig Schlau gemacht, wie man auf Extremwerte einer Funktion 3. Grades kommt, und bin somit darauf gestoßen. Habe mir dann durchgelesen wozu es gut ist, wie es funktioniert und halt angewandt..
Nochmals besten Dank.. auch an Rive!
Grüße,
Rene
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