Volumen begrenzt,Fläche nicht? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Pumba |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Wenn man die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] in den Grenzen x=1 und [mm] x\to\infty [/mm] berechnet, sieht das so aus:
[mm] A=\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{(\bruch{1}{x}) dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln (x)]_{1}^{b}=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln(b)-ln(1)]=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln(b)] [/mm]
Dies hat keinen Grenzwert. Die Fläche ist also unbegrenzt
Wenn man aber das Volumen errechnet, das der Rotationskörper begrenzt kommt eine Zahl heraus:
[mm] V=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{(\bruch{1}{x^{2}}) dx}=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}[\bruch{-1}{x}]_{1}^{b}=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}[\bruch{-1}{b}+1]=\pi
[/mm]
Kann jemand mir dieses "Phänomen" erklären. Ich kann mir das nicht wirklich vorstellen, wie das gehen soll.
Danke schonmal
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> Hallo,
> ich habe folgendes Problem:
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> Wenn man die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] in den Grenzen x=1 und [mm]x\to\infty[/mm]
> berechnet, sieht das so aus:
>
> [mm]A=\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{(\bruch{1}{x}) dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln (x)]_{1}^{b}=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln(b)-ln(1)]=\limes_{b\rightarrow\infty}[ln(b)][/mm]
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> Dies hat keinen Grenzwert. Die Fläche ist also unbegrenzt
>
> Wenn man aber das Volumen errechnet, das der
> Rotationskörper begrenzt kommt eine Zahl heraus:
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> [mm]V=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{(\bruch{1}{x^{2}}) dx}=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}[\bruch{-1}{x}]_{1}^{b}=\pi\*\limes_{b\rightarrow\infty}[\bruch{-1}{b}+1]=\pi[/mm]
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> Kann jemand mir dieses "Phänomen" erklären. Ich kann mir
> das nicht wirklich vorstellen, wie das gehen soll.
>
> Danke schonmal
Hallo Pumba,
mit solch scheinbar paradoxen Ergebnissen muss man in
der Mathematik leben lernen. Hier hast du also einen
(in die Unendlichkeit reichenden) Rotationskörper, der
zwar ein endliches Volumen hat, dessen Längsschnitt
aber einen unendlichen Flächeninhalt hat. Übrigens
ist dann auch die Oberfläche des Körpers unendlich gross.
Um dir das zunächst paradoxe Verhalten anschaulich
verständlich zu machen, kannst du aber gewisse
Gedankenexperimente anstellen. Zum Beispiel denkst
du dir eine Kugel aus ideal verformbarem Plastillin mit
einem vorgegebenen endlichen Volumen. Die Masse
lässt sich (unter beibehaltung des Volumens) beliebig
verformen. Damit kannst du im Prinzip auch unendlich
ausgedehnte Gebilde kreieren, welche unendliche Ober-
fläche, aber trotzdem noch das vorgegebene endliche
Volumen haben.
LG Al-Chwarizmi
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