Volumen Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben ist die Ebene E: [mm] 2x_{1}-2x_{2}+x_{3} [/mm] = 6 . Man soll die Spurpunkte bestimmen und das Dreieck, das entsteht, wenn man die Spurpunkte verbindet, ist die Grundfläche einer Pyramide. Der Ursprung ist die Spitze der Pyramide. Nun soll das Volumen berechnet werden. Dir Grundfläche soll mit dem Volumen berechnet werden. |
Erst einmal ein herzliches Hallo. Ich bin neu hier und frage gleich richtig verzweifelt los :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lehrer hat das Ergebnis wie folgt als Lösung angegeben:
[mm] Sx_1 [/mm] = (3/0/0)
[mm] Sx_2 [/mm] = (0/-3/0)
[mm] Sx_3 [/mm] = (0/0/6)
und als Volumen berechnete sie dann:
$V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 3 * 3 * 6 = 9$ Volumeneinheiten
Meine Frage ist: Welchen Rechenweg hat sie einbgeschlagen? Ich kann das nicht nachvollziehen.
Dann hat sie den Abstand des Dreiecks zur Ebene berechnet , der hier 2 Längeneinheiten beträgt und die Formel $V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * G * d$(entspricht der Höhe ) so umgewandelt, dass durch $G= [mm] \bruch{3*V}{d}$ [/mm] für G=13,5 herauskommt.
Braucht man aber nicht die Grundfläche zum berechnen der des Volumens??? Bin total verwirrt :D
|
|
| |
|
Das Volumen ergibt 9, das habe ich auch bekommen.
Mal ganz langsam der Reihe nach. Um das Volumen zu bekommen, muss man folgendes tun:
1) Spurpunkte: A, B, C berechnen
2) Grundfläche G mit Vektorprodukt berechnen
3) Höhe h vom Punkt (0 | 0 | 0) bis zur Ebene berechnen
4) Volumen: [mm] \bruch{G * h}{3} [/mm]
1) Die Spurpunkte sind Punkte auf der Ebene die nur auf einer Achse liegen. Die Werte der restlichen Achsen sind 0! Also wenn du z.B A berechnen willst und A auf der x-Achse liegt, sind y und z = 0, also 2x = 6 --> x = 3 --> A (3|0|0)
2) Nun, hast du einmal alle Punkte, ist die Grundfläche das halbe Vektorprodukt (dass die Höhe und gleichzeitig die Fläche des aufgeschlagenen. Rechtecks ist). Das Vektorprodukt ergab bei mir 27, die Grundfläche ist also [mm] \bruch{27}{2}
[/mm]
3) Die Höhe liegt ja senkrecht zur Ebene und geht durch den Ursprung. Somit kann man eine Gerade durch den Ursprung und dem Normalvektor legen und diese mit der Ebene schneiden, also:
(0|0|0) + t (2|-2|1) [mm] \cap [/mm] 2x - 2y + z - 6 = 0
Du setzt für x = 2t, y = -2t und z = t ein und bekommst t = [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Das setzt du wieder in die Gerade ein und bekommst den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene, also S [mm] (\bruch{4}{3} [/mm] | [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] | [mm] \bruch{2}{3}). [/mm] Die Länge dieses Vektors ist h. Und zwar h = 2!
4) Nun, die Volumenformel lautet [mm] \bruch{G * h}{3}, [/mm] also
[mm] \bruch{\bruch{27}{2} * 2}{3} [/mm] --> [mm] \bruch{27}{3}
[/mm]
----> 9 !
Voilà!
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, doch ich habe immer noch ein kleines Problem.
Du schreibst, dass du 27 als Vektorprodukt erhälst, dass durch 2 teilst und in die Formel einsetzt. Doch ich bekomme 54 als Vektorprodukt und dementsprechend ein anderes Ergebnis. Kannst du mir verraten, wie du dieses Vektorprodukt ausgerechnet hast? Vielleicht mache ich da einen Fehler?!
|
|
|
| |
|
Ist wahrscheinlich ein Rechenfehler.
Schau dir hier die Formel zur Berechnung des Vektorproduktes nochmals an.
![[]](/images/popup.gif) Wiki
|
|
|
|
