Volumen, Pappschachtel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit der Länge a = 40 cm und der Breite b = 25 cm soll eine Schachtel mit an der Rückwand anhängendem Deckel gefaltet werden. Dazu müssen Einschitte gemacht werden. Welche Länge x müssen diese Einschnitte haben, damit das Volumen der entstehenden Schachtel möglich groß wird? |
Hallo Zusammen,
ich hab mal eine Skizze gemacht, damit man es sich besser vorstellen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
soweit so gut, das Volumen setzt sich aus Länge mal Breite mal Höhe zusammen, also:
V(x) = (a-3x)(b-2x)(x) = 6x³-3bx²-2ax²+abx
V'(x) = 18x²-6bx-4ax+ab
V''(x) = 36x-6b-4a
Somit muss V'(x) = 0 gesetzt werden um die Lösungen, die Extremwerte zu bekommen, also:
[mm] x_1 [/mm] = 4,31 cm und [mm] x_2 [/mm] = 12,91 cm
Dies wird nun mit der zweiten Ableitung überprüft und siehe da, [mm] x_1 [/mm] ist das gesuchte Maximum des Volumens. Stimmt soweit auch alles.
Nur steht in der Lösung:
V(x) = [mm] (b-2x)\cdot{} \bruch{1}{2} \cdot{}(a-3x)(x)
[/mm]
die kommen auch das gleiche Ergebnis wie ich, nur wo kommt das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] her?
Vielen Dank für die Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 18.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Itse
In deiner Länge a liegen doch 2 Böden der Länge a-3x Boden und Deckel die Länge des Bodens ist deshalb die Hälfte davon. falt das doch mal aus nem Stück Papier!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mi 19.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> In deiner Länge a liegen doch 2 Böden der Länge a-3x
> Boden und Deckel die Länge des Bodens ist deshalb die
> Hälfte davon. falt das doch mal aus nem Stück Papier!
die untere Seite ist der Boden und die obere der Deckel, ich ziehe doch die 3x für die Einschnitte von der Gesamtlänge ab. Das Volumen ergibt sich aus V = l [mm] \cdot{} [/mm] b [mm] \cdot{} [/mm] h, um die Länge (einfach) zu bekommen, es interessiert nur der Boden oder Deckel, muss es noch mal [mm] \bruch{1}{2} [/mm] genommen werden, oder?
Warum stimmt dann mein Ergebnis mit den Einschnitten, sind diese unabhängig von der "einfachen" Länge und es zählt nur die Gesamtlänge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 19.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ergebnis stimmt, wenigstens die Stelle x, nicht das maximale Volumen, was man daraus errechnet.
Wenn eine Funktion V(x) ihr maximum bei x1 hat, dann hat 0,5*V(x) oder 117*V(x), oder irgendne Zahl*V8x) an derselben Stelle x ihr Maximum.
anders gesagt, wenn f'(x)=0 ist auch Zahl*f'(x)=0
Gruss leduart
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