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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Fr 03.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] y=2x^3-3x^2-3x+2 [/mm] und g: y=-x+2 schließen miteinander eine endliche Fläche ein.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Funktion
b) Berechnen die den Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche!
c) (Von mir hinzugefügt) Hebe die eingeschlossene Fläche um eine Einheit im Koordinatensystem an.
d) (Auch von mir hinzugefügt) Berechne das Volumen (Rotation um die y-Achse).
e) (Ebenfalls von mir) Füge 1/8 vom Volumen hinzu. |
Hallo,
a) und b) hab ich bei dieser Aufgabe bereits gelöst.
c), d) und e) habe ich (stümperhaft) mal selbst dazuformuliert, da ich weiß, dass die Aufgab auf a) und b) basierend, so ähnlich bei einer Prüfung drankommen könnte, ich aber kein passendes, fertiges Beispiel dazu finde gerade.
Zunächst zu a)
[mm] 2x^3-3x^2-3x+2=-x+2 [/mm] / +x-2 [mm] \Rightarrow y=2x^3-3x^2-2x
[/mm]
[mm] x*(2x^2-3x-2) \Rightarrow [/mm] Sx1=0; Sx2=2; Sx3=-0,5
Sy1=(-0)+2=2
Sy2=(-2)+2=0
Sy3=-(-0,5)+2=2,5
[mm] \Rightarrow [/mm] S1 (0/2); S2 (2/0); S3 (-0,5/2,5)
Dazu eine Frage:
Es entsteht ja durch Gleichsetzen beider Funktionen eine neue Polynomfunktion 3. Grades, die natürlich auch mittels eines Graphen dargestellt werden kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden schwarzen Graphen, gehören zu den in der Angabe stehenden Funktionen f: und g:, der Gelbe ist der, der aus den beiden gleichgesetzten Funktionen entsteht.
Wenn ich Teil b) der Aufgabe rechne, integriere ich ja die Funktion, die durch Gleichsetzen der beiden anderen Funktionen entstanden ist, gelb dargestellt.
Ich frage mich (interessehalber) wie sich davon eine Fläche ableiten lässt, da die ja eigentlich weiter oben zwischen den beiden anderen Graphen eingeschlossen liegt? (Grau dargestellt.)
b)
[mm] A=\integral_{-0,5}^{2}{2x^3-3x^2-2x dx}=2*\bruch{x^4}{4}-3*\bruch{x^3}{3}-2*\bruch{x^2}{2} \Rightarrow -4-\bruch{3}{32}=-4,09 \Rightarrow [/mm] A= 4,09 FE
So weit, so gut.
Nun zur eigentlichen Frage:
c) Wenn ich die Fläche um eine Einheit anheben soll, muss ich doch eigentlich nur bei [mm] y=2x^3-3x^2-2x [/mm] +1 anfügen, oder? Also [mm] y=2x^3-3x^2-2x+1.
[/mm]
Oder muss das schon vorher, bei den beiden Gleichungen in der Angabe, jeweils einzeln erfolgen?
d) Beim Berechnen des Volumens, also der Rotation um die y-Achse, blicke ich leider gar nicht durch, hier wäre ich für einen Tipp dankbar, wie ich dort am besten ansetzen soll.
e) Gleiches gilt bei e. Wie das gehen soll, weiß ich leider auch nicht.
Wie immer, besten Dank schon mal für die Hilfe ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo
a)
deine Schnittpunkte sind ok
durch Gleichsetzen bekommst du [mm] 2x^{3}-3x^{2}-2x=0 [/mm] davon hast du die Nullstellen bestimmt, diese Nullstellen sind die Schnittstellen von f und g, -0,5; 0; 2
b)
da die eingeschlossenen Flächen zu berechnen sind kannst du nicht von -0,5 bis 2 integrieren
[mm] A=|\integral_{-0,5}^{0}{2x^{3}-3x^{2}-3x+2-(-x+2) dx}|+|\integral_{0}^{2}{-x+2-(2x^{3}-3x^{2}-3x+2) dx}|
[/mm]
setze zur Sicherheit immer Betragsstriche
c)
was meinst du mit eingeschlossene Fläche um eine Einheit anheben? Eventuell die Schnittstelle von g mit der y-Achse um 1 vergrößern y=-x+2
d)
bei Rotation um die y-Achse gilt [mm] V=2\pi*\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx} [/mm] die rotierende Fläche wird durch die Geraden x=a und x=b begrenzt, bedenke, es rotieren zwei Flächen um die y-Achse
e)
diese Aufgabe solltest du ebenso präziser formulieren
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Fr 03.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Bei c), die eingeschlossene Fläche um eine Einheit anheben, meinte ich, die Fläche zwischen den beiden Funktionen, in meiner Skizze grau markiert, eine Einheit nach oben verschieben. Im Grunde verstehe ich das so, dass einfach beide Graphen im Koordinatensystem um eins nach oben rutschen sollen. Also am Ende jedes Funktionsterms, einfach +1 hinzugefügt werden soll? Weiß nicht ob meine Theorie da stimmt.
Wenn ich also die Fläche rotieren lassen will, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird, integriere ich analog zu b) (wie bei der Fläche) [mm] 2x^3-3x^2-2x [/mm] im Sinne von [mm] V_1=2*\pi*\integral_{-0,5}^{0}{2x^3-3x^2-2x dx} [/mm] und dann [mm] V_2=2*\pi*\integral_{0}^{2}{2x^3-3x^2-2x dx}. [/mm] In zwei Schritten, weil links und rechts von der y-Achse?Und woher kommt denn das [mm] 2*\pi? [/mm] Also warum mal 2?
Beide Volumen zusammen ergeben dann das gesuchte Volumen, oder? Halt jeweils in den Grenzen von g:?
Bei e) meine ich: das ausgerechnete Volumen, soll um [mm] \bruch{1}{8} [/mm] des Volumens vergrößert werden. Ich habe das so verstanden, dass der entstandene Körper, einfach um [mm] \bruch{1}{8} [/mm] seines Volumens, vergrößert werden soll. Im Grunde ist das doch dann einfach mit [mm] 1\bruch{1}{8} [/mm] zu multiplizieren, oder gibt es da noch eine elegantere Möglichkeit?
Ich hab die Aufgabenstellung leider nur mündlich überliefert bekommen, daher die etwas vagen Angaben.
Danke und Gruß
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Hallo drahmas,
> Hallo,
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> danke für die Antwort.
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> Bei c), die eingeschlossene Fläche um eine Einheit
> anheben, meinte ich, die Fläche zwischen den beiden
> Funktionen, in meiner Skizze grau markiert, eine Einheit
> nach oben verschieben. Im Grunde verstehe ich das so, dass
> einfach beide Graphen im Koordinatensystem um eins nach
> oben rutschen sollen. Also am Ende jedes Funktionsterms,
> einfach +1 hinzugefügt werden soll? Weiß nicht ob meine
> Theorie da stimmt.
>
> Wenn ich also die Fläche rotieren lassen will, die von
> beiden Funktionen eingeschlossen wird, integriere ich
> analog zu b) (wie bei der Fläche) [mm]2x^3-3x^2-2x[/mm] im Sinne
> von [mm]V_1=2*\pi*\integral_{-0,5}^{0}{2x^3-3x^2-2x dx}[/mm] und
> dann [mm]V_2=2*\pi*\integral_{0}^{2}{2x^3-3x^2-2x dx}.[/mm] In zwei
> Schritten, weil links und rechts von der y-Achse?Und woher
> kommt denn das [mm]2*\pi?[/mm] Also warum mal 2?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Guldinsche Regeln
>
> Beide Volumen zusammen ergeben dann das gesuchte Volumen,
> oder? Halt jeweils in den Grenzen von g:?
Ja.
>
> Bei e) meine ich: das ausgerechnete Volumen, soll um
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] des Volumens vergrößert werden. Ich habe das
> so verstanden, dass der entstandene Körper, einfach um
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] seines Volumens, vergrößert werden soll. Im
> Grunde ist das doch dann einfach mit [mm]1\bruch{1}{8}[/mm] zu
> multiplizieren, oder gibt es da noch eine elegantere
> Möglichkeit?
> Ich hab die Aufgabenstellung leider nur mündlich
> überliefert bekommen, daher die etwas vagen Angaben.
>
>
> Danke und Gruß
Gruss
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