Volumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Es sei r [mm] \ge [/mm] 0 eine auf dem Intervall [a,b] stetige, reelle Funktion und
[mm] A:=\{(x,y,z)|0\le x^2+y^2\le r^2(z)\}
[/mm]
a) A hat das Volumen [mm] v_3(A)=\pi \integral_{a}^{b}{r^2(z) dz}. [/mm] Berechen Sie damit das Volumen der Kugel [mm] \overline{K}_R(0) [/mm] |
Hallo zusammen,
könnt ihr mir hier weiterhelfen? Mir fehlt hier jedlicher Ansatz!
Ich weiß das man ein Volumen eines Kreises wie folgt bestimmt.
V= [mm] \frac{4}{3}\pi r^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{6}\pi d^3=\integral_{-r}^{r}{(r^2-x^2)\pi dx} [/mm] (ohne Rechnung!)
Nun habe ich das Integral [mm] \pi \integral_{-r}^{r}{r^2-x^2 dx} [/mm] gelöst und erhalte [mm] \frac{4}{3} \pi r^3. [/mm] Damit ist die Aufgabe doch schon erledigt oder?
Gruß!
Bitte um Hilfe! Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Fr 01.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
Du hast zwar das Volumen der Kugel bestimmt, aber nicht nach der gegebenen Vorschrift! Du sollst fuer die Kugel r(z) bestimmen, das ist einfach mit Pythagoras, und in die Formel einsetzen. Mach einen Unterscheid zeischen r(z) und R, dem Radius der Kugel,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo
> Du hast zwar das Volumen der Kugel bestimmt, aber nicht
> nach der gegebenen Vorschrift! Du sollst fuer die Kugel
> r(z) bestimmen, das ist einfach mit Pythagoras, und in die
> Formel einsetzen. Mach einen Unterscheid zeischen r(z) und
> R, dem Radius der Kugel,
> Gruss leduart
Hallo,
also berechne ich dann folgendes?
[mm] \pi \integral_{-r}^{r}{x^2 + y^2 dx}.
[/mm]
Oder wie soll ich das mit dem Phytagoras verstehen?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Bodo,
Du sollst doch über dz integrieren, nicht über dx.
Du brauchst also eine Funktion, die den Rand des Kreises in Abhängigkeit von z beschreibt. Bekannt ist der Radius R, sowie die Punkte f(0)=R und f(R)=0.
Der Pythagoras spielt da deutlich hinein, aber er redet nicht von x und y, sondern nur von R und z, denn es gilt ja [mm] z^2+(f(z))^2=R^2.
[/mm]
Jetzt Du...
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo,
>
> Du sollst doch über dz integrieren, nicht über dx.
>
> Du brauchst also eine Funktion, die den Rand des Kreises in
> Abhängigkeit von z beschreibt. Bekannt ist der Radius R,
> sowie die Punkte f(0)=R und f(R)=0.
>
> Der Pythagoras spielt da deutlich hinein, aber er redet
> nicht von x und y, sondern nur von R und z, denn es gilt ja
> [mm]z^2+(f(z))^2=R^2.[/mm]
>
> Jetzt Du...
>
> lg
> reverend
Hi,
also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss ich folgendes machen:
[mm] z^2+(f(z))^2=R^2 [/mm] , hier entspricht doch das [mm] (f(z))^2 [/mm] = [mm] r(z)^2
[/mm]
[mm] (f(z))^2 =R^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm]
-> [mm] \pi \integral_{0}^{R}{R^2-z^2 dz} [/mm] = [mm] \pi ((R^2*R-\frac{R^3}{3})) [/mm] = [mm] \frac{2}{3} R^3 \pi
[/mm]
Bitte um kurze Rückmeldung! Danke!
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo,
> >
> > Du sollst doch über dz integrieren, nicht über dx.
> >
> > Du brauchst also eine Funktion, die den Rand des Kreises in
> > Abhängigkeit von z beschreibt. Bekannt ist der Radius R,
> > sowie die Punkte f(0)=R und f(R)=0.
> >
> > Der Pythagoras spielt da deutlich hinein, aber er redet
> > nicht von x und y, sondern nur von R und z, denn es gilt ja
> > [mm]z^2+(f(z))^2=R^2.[/mm]
> >
> > Jetzt Du...
> >
> > lg
> > reverend
>
>
> Hi,
>
> also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss ich
> folgendes machen:
>
> [mm]z^2+(f(z))^2=R^2[/mm] , hier entspricht doch das [mm](f(z))^2[/mm] =
> [mm]r(z)^2[/mm]
>
> [mm](f(z))^2 =R^2[/mm] - [mm]z^2[/mm]
>
> -> [mm]\pi \integral_{0}^{R}{R^2-z^2 dz}[/mm] = [mm]\pi ((R^2*R-\frac{R^3}{3}))[/mm]
> = [mm]\frac{2}{3} R^3 \pi[/mm]
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bitte um kurze Rückmeldung! Danke!
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok! Danke! Aber ich hätte da noch eine Frage. Warum sind denn meine Grenzen 0 und R? Wie komme ich denn dort drauf? Das ist mir leider nicht ersichtlich...
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | b) Ist [mm] (\epsilon,\delta) [/mm] der Schwerpunkt der Menge
[mm] F={(x,z)|0\le x \le r(z), z\in[a,b]} \subset \IR^2 [/mm]
so gilt [mm] v_3(A)=2\pi\epsilon *v_2(F) [/mm] Guldinsche Regel
c) A hat bezüglich der Rotationsachse das Trägheitmoment
[mm] \theta [/mm] := [mm] \integral_{A}^{}{(x^2+y^2)d(x,y,z)} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}\integral_{a}^{b}{r^4(z) dz} [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir bei Aufgabe b) auch behilflich sein? Wie muss ich hier vorgehen?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Bodo0686,
> Ok! Danke! Aber ich hätte da noch eine Frage. Warum sind
> denn meine Grenzen 0 und R? Wie komme ich denn dort drauf?
> Das ist mir leider nicht ersichtlich...
Das ist Dir ersichtlich, wenn Du die Gleichung
[mm]\left( \ f(z) \ \right)^{2} =R^2 - z^2 [/mm]
betrachtest.
Das Quadrat [mm]\left( \ f(z) \ \right)^{2}[/mm] ist größer gleich 0.
Ausserdem kann dieses Quadrat maximal [mm]R^{2}[/mm] werden.
Aus diesen beiden Aussagen folgen die Grenzen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit den Grenzen 0 bis R hast du die Halbkugel, mit -R bis +R die Vollkugel.
Bei b) seh ich keine Frage, aber wenn da eine ist, dann versuch doch erst mal selbst, wie weit du kommst und frag dann nach.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> mit den Grenzen 0 bis R hast du die Halbkugel, mit -R bis
> +R die Vollkugel.
> Bei b) seh ich keine Frage, aber wenn da eine ist, dann
> versuch doch erst mal selbst, wie weit du kommst und frag
> dann nach.
> Gruss leduart
Hi,
ich weiß nicht was ich bei b) machen muss! Ich soll ja zeigen, dass
[mm] v_3(A)=2\pi\epsilon*v_2(F) [/mm] ist.
Muss ich hier vom Ergebnis von a) ausgehen und dann zeigen das es [mm] 2\pi\epsilon*v_2(F) [/mm] ist? Aber was ist [mm] \epsilon, [/mm] was ist [mm] v_2(F)?
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
/epsilon ist die x-Koordinate Des Schwerpunkts, das stht da, und [mm] v_2 [/mm] ist das 2d-Volumen also die flaeche von F
ob sich das noch auf die Kugel in a bezieht weiss ich nicht.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> /epsilon ist die x-Koordinate Des Schwerpunkts, das stht
> da, und [mm]v_2[/mm] ist das 2d-Volumen also die flaeche von F
> ob sich das noch auf die Kugel in a bezieht weiss ich
> nicht.
> gruss leduart
Hallo,
ok, dass sehe ich ein. Aber ich verstehe immer noch nicht, was ich machen muss?! Was muss ich denn hier ausrechnen und mit was? Ich finde die Aufgabe sehr merkwürdig...
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 05.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
