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Volumen...: kurze Fragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 23.03.2005
Autor: Bastiane

Hallo ihr!
Hab da mal gerade ein paar Fragen, weil der Prof das irgendwie so komisch aufgeschrieben hat. Also, es geht um das Volumen bei Abbildungen - jedenfalls würde ich es mal so nennen...

Da haben wir einmal den Fall:
[mm] \Psi(x)=Dx [/mm] mit D Diagonalmatrix und [mm] d_i>0, [/mm] dann haben wir einmal aufgeschrieben:
[mm] \mu_n(\Psi(K))=det [/mm] D [mm] \mu_n(K), [/mm]
wobei er dann als Beispiel angibt: [mm] \mu_n(B_r(K))=r^n \mu_n(B_1(0)) [/mm] [haee]

aber an anderer Stelle hatte er sich verbessert zu:
[mm] (\Psi_{*}\mu_n)=\bruch{1}{det D}\mu_n [/mm]
wobei [mm] \Psi_{*} [/mm] das Bildmaß ist mit [mm] (\Psi_{*}\mu_n)(A)=\mu_n(\Psi^{-1}(A')) [/mm] (das sollte eigentlich "Psi-Mal" heißen...)

das waren also die Diagonalmatrizen, nun haben wir noch Orthogonalmatrizen, also [mm] S\in [/mm] O(n):
[mm] (\Psi_{*}\mu_n)(B_r(x))=\mu_n(B_r(x))=r^n\mu_n(B_1(0)) [/mm]

Ich wollte eigentlich nur kurz fragen, ob das im zweiten Fall wirklich so richtig ist, und was im ersten Fall gilt.

Viele Grüße
Bastiane
[banane]



        
Bezug
Volumen...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Mi 23.03.2005
Autor: moudi


> Hallo ihr!
>  Hab da mal gerade ein paar Fragen, weil der Prof das
> irgendwie so komisch aufgeschrieben hat. Also, es geht um
> das Volumen bei Abbildungen - jedenfalls würde ich es mal
> so nennen...
>  
> Da haben wir einmal den Fall:
>  [mm]\Psi(x)=Dx[/mm] mit D Diagonalmatrix und [mm]d_i>0,[/mm] dann haben wir
> einmal aufgeschrieben:
>  [mm]\mu_n(\Psi(K))=det[/mm] D [mm]\mu_n(K), [/mm]
>  wobei er dann als Beispiel angibt: [mm]\mu_n(B_r(K))=r^n \mu_n(B_1(0))[/mm]
> [haee]

Ich interpretiere das so: Das Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit Radius r ist das [mm] $r^n\mathrm{-fache}$ [/mm] des Volumen einer Kugel mit Radius 1 (das ist sicher richtig!)

Begründung: Man betrachtet die zentrische Streckung mit Streckungsfaktor 1/r und Streckungszentrum gleich Koordinatenursprung. Das ist eine lineare Abbildung mit Diagonalmatrix diag(1/r,1/r,....,1/r) mit Determinante [mm] $(1/r)^n$. [/mm] Diese Streckung bildet eine Kugel mit Radius r auf eine Einheitskugel ab. Daher gilt [mm] $\mu_n(B_r(0))=\frac{1}{\det D}\mu_n(B_1(0))$ [/mm] oder wenn K irgendein Körper ist [mm] $\mu_n(K)=\frac{1}{\det D}\mu_n(\Psi(K))$ [/mm] was äquivalent zur oberen Formel ist.

mfG Moudi

>  
> aber an anderer Stelle hatte er sich verbessert zu:
>  [mm](\Psi_{*}\mu_n)=\bruch{1}{det D}\mu_n [/mm]
>  wobei [mm]\Psi_{*}[/mm] das
> Bildmaß ist mit [mm](\Psi_{*}\mu_n)(A)=\mu_n(\Psi^{-1}(A'))[/mm]
> (das sollte eigentlich "Psi-Mal" heißen...)
>  
> das waren also die Diagonalmatrizen, nun haben wir noch
> Orthogonalmatrizen, also [mm]S\in[/mm] O(n):
>  [mm](\Psi_{*}\mu_n)(B_r(x))=\mu_n(B_r(x))=r^n\mu_n(B_1(0)) [/mm]
>  
> Ich wollte eigentlich nur kurz fragen, ob das im zweiten
> Fall wirklich so richtig ist, und was im ersten Fall
> gilt.
>  
> Viele Grüße
>  Bastiane
>  [banane]
>  
>
>  

Bezug
        
Bezug
Volumen...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mo 04.04.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

>  Hab da mal gerade ein paar Fragen, weil der Prof das
> irgendwie so komisch aufgeschrieben hat. Also, es geht um
> das Volumen bei Abbildungen - jedenfalls würde ich es mal
> so nennen...
>  
> Da haben wir einmal den Fall:
>  [mm]\Psi(x)=Dx[/mm] mit D Diagonalmatrix und [mm]d_i>0,[/mm] dann haben wir
> einmal aufgeschrieben:
>  [mm]\mu_n(\Psi(K))=det[/mm] D [mm]\mu_n(K),[/mm]

[ok]

>  wobei er dann als Beispiel angibt: [mm]\mu_n(B_r(K))=r^n \mu_n(B_1(0))[/mm]
> [haee]

Das hatte ich dir ja auf der Zugfahrt erklärt (und moudi hier im Forum).
  

> aber an anderer Stelle hatte er sich verbessert zu:
>  [mm](\Psi_{*}\mu_n)=\bruch{1}{det D}\mu_n[/mm]
>  wobei [mm]\Psi_{*}[/mm] das
> Bildmaß ist mit [mm](\Psi_{*}\mu_n)(A)=\mu_n(\Psi^{-1}(A'))[/mm]
> (das sollte eigentlich "Psi-Mal" heißen...)

[ok] (das war keine Verbesserung, das ist das gleiche, schließlich rechnet man hier [mm] $\mu_n(D^{-1}A')$ [/mm] aus und oben [mm] $\mu_n(DK)$, [/mm] und die Behauptung folgt aus [mm] $\det(D^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(D)}$) [/mm]  

> das waren also die Diagonalmatrizen, nun haben wir noch
> Orthogonalmatrizen, also [mm]S\in[/mm] O(n):
>  [mm](\Psi_{*}\mu_n)(B_r(x))=\mu_n(B_r(x))=r^n\mu_n(B_1(0))[/mm]
>  
> Ich wollte eigentlich nur kurz fragen, ob das im zweiten
> Fall wirklich so richtig ist, und was im ersten Fall gilt.

Ja, im zweiten Fall gillt:

[mm] $(\Psi_{\*}\mu_n)(B_r(x)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(S)} \mu_n(B_r(x)) [/mm] = [mm] \mu_n(B_r(x))$, [/mm]

da $S$ orthogonal ist und somit [mm] $\det(S)=1$ [/mm] gilt.

Liebe Grüße
Stefan


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