Vollständigkeitsnachweis in L2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 26.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei [mm] X=L_{2}(0,1) [/mm] und
[mm] M=\{x\in X: \integral_{0}^{1}{x(t) dt}=\integral_{0}^{1}{t*x(t) dt}=0\}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass M ein linearer Teilraum von [mm] L_{2}(0,1) [/mm] ist.
b) Ist M abgeschlossen?
c) bestimmen Sie [mm] M^{\perp}.
[/mm]
d) Geben Sie einen Teilraum [mm] N\in L_{2}(0,1) [/mm] derart an, das [mm] $L_{2}=M\oplus [/mm] N$ ist. Welche Dimension hat der Teilraum N?
e) Berechnen Sie die Projektion [mm] Px_{0} [/mm] von [mm] x_{0}(t)=e^{t} [/mm] auf M. |
Hallo,
ich habe folgendes Problem zu obiger Aufgabe:
Zu a) Der Linearitätsnachweis ist nicht sonderlich schwer, da das Integral linear ist. Aber eine Teilmenge wird leider erst dann zu einem Teilraum, wenn Sie bezüglich der Norm vollständig ist. Vollständigkeitsnachweise für Teilmengen des [mm] L_{2} [/mm] sind allerdings schwieriger. Wie muss ich hier vorgehen?
Zu b) Wenn ein normierter Raum vollständig ist, ist er auch abgeschlossen nach einem Satz aus der Vorlesung.
Zu d) Laut Projektionssatz ist [mm] N=M^{\perp}.
[/mm]
Zu c) Es muss gelten: [mm] $\wurzel{\integral_{0}^{1}{|x(t)y(t)| dt}=0}$ $\forall x\in [/mm] M$ und [mm] y\in M^{\perp}. [/mm] Ist also [mm] M^{\perp} [/mm] der Raum der linearen Funktionen? Mich stört nur der Betrag bei dieser Überlegung.
Zu d) Nach Projektionssatz ist [mm] e^{t}=x(t)+y(t) [/mm] mit [mm] x(t)\in [/mm] M und [mm] y(t)\in M^{\perp}. [/mm] Doch wie suche diese beiden Funktionen am besten?
Kann mir jemand hierbei weiterhelfen?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]X=L_{2}(0,1)[/mm] und
>
> [mm]M=\{x\in X: \integral_{0}^{1}{x(t) dt}=\integral_{0}^{1}{t*x(t) dt}=0\}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass M ein linearer Teilraum von [mm]L_{2}(0,1)[/mm]
> ist.
> b) Ist M abgeschlossen?
> c) bestimmen Sie [mm]M^{\perp}.[/mm]
> d) Geben Sie einen Teilraum [mm]N\in L_{2}(0,1)[/mm] derart an, das
> [mm]L_{2}=M\oplus N[/mm] ist. Welche Dimension hat der Teilraum N?
> e) Berechnen Sie die Projektion [mm]Px_{0}[/mm] von [mm]x_{0}(t)=e^{t}[/mm]
> auf M.
> Hallo,
>
> ich habe folgendes Problem zu obiger Aufgabe:
>
> Zu a) Der Linearitätsnachweis ist nicht sonderlich schwer,
> da das Integral linear ist. Aber eine Teilmenge wird leider
> erst dann zu einem Teilraum, wenn Sie bezüglich der Norm
> vollständig ist. Vollständigkeitsnachweise für
> Teilmengen des [mm]L_{2}[/mm] sind allerdings schwieriger. Wie muss
> ich hier vorgehen?
Das verstehe ich nicht. Du musst zeigen, dass M bezüglich Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahl abgeschlossen ist, also dass aus [mm] $x,y\in [/mm] M$, [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] folgt, dass [mm] $x+y\in [/mm] M$ und [mm] $\lambda x\in [/mm] M$ ist.
Das ist nicht die Vollständigkeit bzgl. der Norm.
> Zu b) Wenn ein normierter Raum vollständig ist, ist er
> auch abgeschlossen nach einem Satz aus der Vorlesung.
Ist das hier anwendbar?
>
> Zu d) Laut Projektionssatz ist [mm]N=M^{\perp}.[/mm]
>
> Zu c) Es muss gelten: [mm]\wurzel{\integral_{0}^{1}{|x(t)y(t)| dt}=0}[/mm]
> [mm]\forall x\in M[/mm] und [mm]y\in M^{\perp}.[/mm] Ist also [mm]M^{\perp}[/mm] der
> Raum der linearen Funktionen? Mich stört nur der Betrag
> bei dieser Überlegung.
Es muss gelten, dass
[mm] = 0 [/mm] für [mm] $x\in [/mm] M, y [mm] \in M^{\perp}$ [/mm] .
Per Definition ist $<x,y> = [mm] \integral_{0}^{1}{x(t)y(t) dt} [/mm] $. Keine Wurzel, kein Betrag.
Und jetzt schau dir die Definition von M an! Klingelt's?
> Zu d) Nach Projektionssatz ist [mm]e^{t}=x(t)+y(t)[/mm] mit [mm]x(t)\in[/mm]
> M und [mm]y(t)\in M^{\perp}.[/mm] Doch wie suche diese beiden
> Funktionen am besten?
Wenn du c) hast, kannst du [mm] $x_0(t)=e^t$ [/mm] einfach zerlegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 26.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
Zu c) Ohne Betrag ist [mm] M^{\perp} [/mm] die Menge der linearen Funktionen.
Zu a) Hier möchte ich widersprechen.
Teilräume müssen vollständig sein per Definition eines Teilraums. (Laut unserem Übungsdozenten ist das der Unterschied zwischen einem Teilraum und einer Teilmenge, weshalb er mir in einer anderen Übungsserie schon einmal Punkte abgezogen hat.)
Dass dieser dann linear ist, zeigt sich dann ganz leicht, da Integrale lineare Abbildungen sind.
Zu b) Der Satz bezog sich allgemein auf lineare Teilräume beliebiger normierter Räume. Da [mm] L_{2} [/mm] als Hilbertraum normiert ist, kann ich also ohne weiteres von der Vollständigkeit von M auf die Abgeschlossenheit schließen.
Gruß
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Sa 27.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
>
> Zu c) Ohne Betrag ist [mm]M^{\perp}[/mm] die Menge der linearen
> Funktionen.
>
> Zu a) Hier möchte ich widersprechen.
> Teilräume müssen vollständig sein per Definition eines
> Teilraums. (Laut unserem Übungsdozenten ist das der
> Unterschied zwischen einem Teilraum und einer Teilmenge,
Teile Deinem Übungsdozenten mit, dass er ein Vollidiot ist !!!!
Ich bin seit 25 Jahren im Geschäft "Funktionalanalysis" tätig, aber solch eine Schwachsinn habe ich bislang noch nicht gehört oder gelesen.
FRED
>
> weshalb er mir in einer anderen Übungsserie schon einmal
> Punkte abgezogen hat.)
> Dass dieser dann linear ist, zeigt sich dann ganz leicht,
> da Integrale lineare Abbildungen sind.
>
> Zu b) Der Satz bezog sich allgemein auf lineare Teilräume
> beliebiger normierter Räume. Da [mm]L_{2}[/mm] als Hilbertraum
> normiert ist, kann ich also ohne weiteres von der
> Vollständigkeit von M auf die Abgeschlossenheit
> schließen.
>
> Gruß
> DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu a) Hier möchte ich widersprechen.
> Teilräume müssen vollständig sein per Definition eines
> Teilraums.
Nein, eben nicht, wie Rainer und Fred schon schrieben.
> (Laut unserem Übungsdozenten ist das der
> Unterschied zwischen einem Teilraum und einer Teilmenge,
> weshalb er mir in einer anderen Übungsserie schon einmal
> Punkte abgezogen hat.)
Der Unterschied zwischen Teilraum und Teilmenge ist, dass eine Teilmenge einfach eine Teilmenge des Raumes ist, waehrend der Teilraum die induzierte Topologie traegt und somit ein topologischer Raum ist.
(Wobei man eigentlich nicht zwischen beiden unterscheidet.)
Ein linearer Teilraum ist ein Untervektorraum mit der induzierten Topologie.
Und dieser muss nicht vollstaendig sein; ansonsten waer Aufgabenteil b) auch ziemlich ueberfluessig.
> Dass dieser dann linear ist, zeigt sich dann ganz leicht,
> da Integrale lineare Abbildungen sind.
Exakt.
Man bekommt schnell hin, dass es ein linearer Teilraum ist.
Die Frage, ob er (als metrischer Raum) vollstaendig ist (bzw. abgeschlossen, was hier ja Aequivalent ist), ist eine andere, und die wird in (b) gestellt.
> Zu b) Der Satz bezog sich allgemein auf lineare Teilräume
> beliebiger normierter Räume. Da [mm]L_{2}[/mm] als Hilbertraum
> normiert ist, kann ich also ohne weiteres von der
> Vollständigkeit von M auf die Abgeschlossenheit
> schließen.
Du weisst allerdings nicht, ob $M$ vollstaendig ist.
Und es ist eher so, dass du nachpruefen willst, ob $M$ vollstaendig ist oder nicht, indem du pruefst, ob es eine abgeschlossene oder nicht abgeschossene Teilmenge eines vollstaendigen normierten Raumes ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Sa 27.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank erstmal für die Erkenntnisse bezüglich Teilraum und Teilmenge.
Bleibt aber trotzdem die Frage, wie ich die Vollständigkeit oder die Abgeschlossenheit zeige, denn das ist ja gerade die Aufgabenstellung bei b). Bisher hatten wir Integrale immer bei stetigen Funktionen, wo man Stetigkeitseigenschaften bei der Konvergenz benutzen konnte. Darauf kann ich hier leider nicht zurückgreifen und bin deshalb ein wenig ratlos.
Gruß
DerGraf
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:08 So 28.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
Wie zeige ich hier die Abgeschlossenheit in b)
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank erstmal für die Erkenntnisse bezüglich
> Teilraum und Teilmenge.
> Bleibt aber trotzdem die Frage, wie ich die
> Vollständigkeit oder die Abgeschlossenheit zeige, denn das
> ist ja gerade die Aufgabenstellung bei b). Bisher hatten
> wir Integrale immer bei stetigen Funktionen, wo man
> Stetigkeitseigenschaften bei der Konvergenz benutzen
> konnte. Darauf kann ich hier leider nicht zurückgreifen
> und bin deshalb ein wenig ratlos.
Das geht immer auf dieselbe Weise: nimm dir eine Cauchyfolge [mm] $(x_n)_n)$ [/mm] in M, die gegen [mm] $x\in L_2(0,1)$ [/mm] konvergiert, und zeige, dass [mm] $x\in [/mm] M$ gilt.
Du kannst z.B. mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung zeigen, dass die Abbildungen
[mm] x \mapsto \integral_0^1x(t)dt [/mm]
und
[mm] x \mapsto \integral_0^1t*x(t)dt [/mm]
stetig sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 28.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank Rainer, du hast mir sehr geholfen :)
[mm] |\int_{0}^{1}{x_n(t) dt}-\int_{0}^{1}{x(t) dt}|^2=|\int_{0}^{1}{(x_n(t)-x(t))*1 dt}|^2\le\int_{0}^{1}{1^2 dt}\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}=\|x_n-x\|^2<\delta<\epsilon
[/mm]
und
[mm] |\int_{0}^{1}{t*x_n(t) dt}-\int_{0}^{1}{t*x(t) dt}|^2=|\int_{0}^{1}{(x_n(t)-x(t))*t dt}|^2\le\int_{0}^{1}{t^2 dt}\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}=\bruch{1}{3}*\|x_n-x\|^2<\bruch{1}{3}*\delta<\epsilon
[/mm]
Damit gilt die Stetigkeit nach [mm] \epsilon-\delta-Kriterium.
[/mm]
Wenn man nun die Definition der Folgenstetigkeit hernimmt, ergibt sich sofort, dass jede Cauchyfolge [mm] x_n [/mm] aus M auch in M konvergiert.
Also ist M abgeschlossen und vollständig.
Stimmt das so?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:10 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> [mm]|\int_{0}^{1}{x_n(t) dt}-\int_{0}^{1}{x(t) dt}|^2=|\int_{0}^{1}{(x_n(t)-x(t))*1 dt}|^2\le\int_{0}^{1}{1^2 dt}\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}[/mm]
>
> [mm]=\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}=\|x_n-x\|^2<\delta<\epsilon[/mm]
>
> und
>
> [mm]|\int_{0}^{1}{t*x_n(t) dt}-\int_{0}^{1}{t*x(t) dt}|^2=|\int_{0}^{1}{(x_n(t)-x(t))*t dt}|^2\le\int_{0}^{1}{t^2 dt}\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{3}*\int_{0}^{1}{|x_n(t)-x(t)|^2 dt}=\bruch{1}{3}*\|x_n-x\|^2<\bruch{1}{3}*\delta<\epsilon[/mm]
>
> Damit gilt die Stetigkeit nach [mm]\epsilon-\delta-Kriterium.[/mm]
> Wenn man nun die Definition der Folgenstetigkeit hernimmt,
> ergibt sich sofort, dass jede Cauchyfolge [mm]x_n[/mm] aus M auch in
> M konvergiert.
>
> Also ist M abgeschlossen und somit vollständig.
>
> Stimmt das so?
Ja.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße
DerGraf
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