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| Aufgabe | | Zeige: [mm] (C[0,1],\parallel \parallel_1) [/mm] ist kein Banachraum. |
Die Norm ist folgendermaßen definiert: [mm] \parallel f\parallel_1:=\integral_{0}^{1}{|f|}.
[/mm]
Damit ich zeigen kann, dass es sich hierbei um keinen Banachraum handelt muss ich ja nur eine Cauchyfolge finden die nicht gegen ein Element aus C[0,1] konvergiert. Da hänge ich gerade ein wenig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 16.08.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $1_{\left[0,\frac 12\right]}(x)$
[/mm]
jetzt bastel Dir stetige Funktionen (zur Not stückweise aus linearen Fkt. zusammengeklebt; der Arkustangens wäre eine schönere Alternative), die da dagegen gehen.
ciao
Stefan
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Naja, da gibt es ja eine Menge von Funktion, beispielsweise [mm] f(x)=\bruch{1}{x}. [/mm] Was genau kann ich dann daraus folgern, wenn ich solche Funktion gefunden/konstruiert habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 16.08.2011 | | Autor: | Blech |
1. [mm] $\frac [/mm] 1x$ geht gegen überhaupt nix, weil es keine Folge von Funktionen ist
2. Wie wolltest Du daraus eine Folge gewinnen, die gegen $ [mm] 1_{\left[0,\frac 12\right]}(x) [/mm] $ geht?
3. Was genau willst Du zeigen? Daß der Raum der stetigen Fkt nicht abgeschlossen ist. Was genau konstruierst Du? Eine Folge stetiger Funktionen, die gegen eine unstetige Fkt geht.
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Der Vektorraum der stetigen Funktionen C(I), I=[a,b] ist ja ein Banachraum bzgl. der Supremumsnorm, aber bzgl der Norm die ich im 1 Beitrag definiert habe anscheinend nicht. Das würde ich gerne zeigen
Edit: Ich meine außerdem einen vollständigen Raum, keinen abgeschlossenen. Sry wenn das missverstanden wurde im 1.Beitrag.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 16.08.2011 | | Autor: | Blech |
> Der Vektorraum der stetigen Funktionen C(I), I=[a,b] ist ja ein Banachraum bzgl. der Supremumsnorm, aber bzgl der Norm die ich im 1 Beitrag definiert habe anscheinend nicht. Das würde ich gerne zeigen
Ja, und ich hab jetzt 2mal geschrieben wie.
Nachdem Du darauf aber überhaupt nicht eingehst, weder mit Bestätigung noch mit Nachfrage, frag ich mich langsam, ob Du irgendwas von dem gelesen hast.
Also, ich will eine Folge stetiger Funktionen, die gegen die Indikatorfunktion konvergiert.
> Edit: Ich meine außerdem einen vollständigen Raum, keinen abgeschlossenen.
Und was heißt vollständig?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Di 16.08.2011 | | Autor: | Tsetsefliege |
Ein Beispiel für eine Funktionenfolge die gegen 0 konvergiert ist [mm] f_n(x)=\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}. [/mm] Eine andere Folge von Funktionen wäre beispielsweise [mm] [0,1]->\IR, f_n(x)=x^n [/mm] Für 0<=x<1 ist der Grenzwert 0, für x=1 ist dieser 1
Ein Raum [mm] (A,\parallel .\parallel [/mm] )heißt genau dann vollständig oder ein Banachraum, wenn jede Cauchyfolge gegen ein Element aus A konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Di 16.08.2011 | | Autor: | leduart |
Halloi
sollte diese antwort jetzt auf die posts von blech eingehen und ich merk das nur nicht?
Gruss leduart
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