Vollständigkeit einer Metrik < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 01.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass (R,d) mit der Metrik
d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| nicht vollständig ist. |
Da die Arcustangens-Funktion im Intervall [mm] (-\pi/2,\pi/2) [/mm] an allen Stellen definiert ist, ist auch |arctan(x)-arctan(y)im ganzen Intervall [mm] [0,\pi) [/mm] definiert.
Damit dürfte nur der Grenzwert [mm] \pi [/mm] interessant sein.
Hat einer eine Idee für entsprechende Chauchy-Folgen, die gegen [mm] \pi [/mm] konvergieren?
Mein Vorschlag:
$ [mm] x_n:=x_0+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot{}(x-x_0) [/mm] $
und setze [mm] y_n=-x_n [/mm] . Da mein x beliebig groß werden kann, müsste doch dann auch die Folge [mm] x_n [/mm] dabei sein, für die [mm] arctan(x_n) [/mm] gegen [mm] \pi/2 [/mm] konvergiert. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob das so stimmt.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 01.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass (R,d) mit der Metrik
> d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| nicht vollständig ist.
> Da die Arcustangens-Funktion im Intervall [mm](-\pi/2,\pi/2)[/mm]
> an allen Stellen definiert ist, ist auch
> |arctan(x)-arctan(y)im ganzen Intervall [mm][0,\pi)[/mm] definiert.
> Damit dürfte nur der Grenzwert [mm]\pi[/mm] interessant sein.
Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg, aber so, wie du es aufgeschrieben hast, ist es nicht richtig. Zunächst ist der Arcustangens auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, der zugehörige Wertebereich ist das Intervall [mm](\pi/2,\pi/2)[/mm]. Daher hat die Metrik den Wertebereich [mm][0,\pi)[/mm].
> Hat einer eine Idee für entsprechende Chauchy-Folgen, die
> gegen [mm]\pi[/mm] konvergieren?
> Mein Vorschlag:
>
> [mm]x_n:=x_0+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot{}(x-x_0)[/mm]
Das verstehe ich nicht. Was ist x? Umgeformt ist [mm] $x_n= [/mm] x - [mm] \frac{1}{n}(x-x_0)$. [/mm] Diese Folge konvergiert gegen x für jedes [mm] $x\in\IR$, [/mm] hat also einen Grenzwert. Du brauchst eine Cauchyfolge. die keinen Grenzwert hat.
> und setze [mm]y_n=-x_n[/mm] .
Was soll [mm] $y_n$ [/mm] sein? Bei einer Cauchyfolge betrachtest du [mm] $d(x_n,x_m)$.
[/mm]
> Da mein x beliebig groß werden kann,
> müsste doch dann auch die Folge [mm]x_n[/mm] dabei sein, für die
> [mm]arctan(x_n)[/mm] gegen [mm]\pi/2[/mm] konvergiert.
Der zweite Halbsatz enthält eine gute Idee: Denk dir eine Folge aus, für die [mm]\arctan(x_n)[/mm] gegen [mm]\pi/2[/mm] konvergiert!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 01.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] arctan(x_n)\to \pi/2 [/mm] würde heißen, dass [mm] x_n [/mm] gegen unendlich läuft. Damit wäre [mm] x_n [/mm] aber keine Cauchy-Folge mehr. Widerspricht das nicht dem, was ich zeigen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 01.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]arctan(x_n)\to \pi/2[/mm] würde heißen, dass [mm]x_n[/mm] gegen unendlich
> läuft. Damit wäre [mm]x_n[/mm] aber keine Cauchy-Folge mehr.
Wieso nicht? Wieso kann nicht gelten:
[mm] $d(x_n,x_m) <\varepsilon$ [/mm] für alle $n,m>N$ ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 01.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] x_n=(-1)^n*n [/mm] würde vielleicht funktionieren, da dann [mm] d(x_n,x_m)\to \pi [/mm] konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 01.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]x_n=(-1)^n*n[/mm] würde vielleicht funktionieren, da dann
> [mm]d(x_n,x_m)\to \pi[/mm] konvergiert.
Nein, das ist keine Cauchyfolge (es gilt:
[mm] d(x_n,x_m) =\arctan \bruch{|n-m|}{1+n*m} [/mm], wenn $n-m$ gerade ist).
Du hast meine Frage noch nicht beantwortet: warum meinst du, dass [mm] $x_n=n$ [/mm] keine Cauchyfolge (bezüglich d) ist?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 01.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] x_n=n [/mm] geht doch gegen unendlich, ist also bestimmt divergent.
Wie soll eine divergente Folge eine Cauchy-Folge sein, die ja konvergent sein soll?
arctan(|n-m|/(1+n*m)) ist doch auch konvergent (schon wegen dem arctan).Also entweder ist [mm] x_n=n [/mm] eine Cauchyfolge (dann müsste meine aber auch eine sein) oder [mm] x_n=n [/mm] ist keine. Dann versteh ich aber deinen Einwand nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Fr 02.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]x_n=n[/mm] geht doch gegen unendlich, ist also bestimmt
> divergent.
Die Folge ist divergent bezüglich der üblichen Metrik. Hier haben wir eine andere Metrik.
> Wie soll eine divergente Folge eine Cauchy-Folge sein, die
> ja konvergent sein soll?
Wiederum: in der üblichen Metrik. Hier ist nicht jede Cauchyfolge konvergent.
> arctan(|n-m|/(1+n*m)) ist doch auch konvergent (schon wegen
> dem arctan).
> Also entweder ist [mm]x_n=n[/mm] eine Cauchyfolge (dann
> müsste meine aber auch eine sein) oder [mm]x_n=n[/mm] ist keine.
> Dann versteh ich aber deinen Einwand nicht.
Du musst dir die Bedingunge sauber hinschreiben. Bei deiner Folge [mm] $x_n=(-1)^nn$ [/mm] gilt:
[mm] d(x_n,x_m) =\arctan \bruch{|n-m|}{1+n*m} [/mm], wenn $n-m$ gerade ist,
[mm] d(x_n,x_m) > 2 \arctan 1 = \bruch{\pi}{2}[/mm], wenn $n-m$ ungerade ist,
Folglich gibt es zu jedem n ein m, sodass [mm] d(x_n,x_m) > 2 \arctan 1[/mm] ist. Das ist keine Cauchyfolge.
Für die Folge [mm] $x_n=n$ [/mm] gilt:
[mm] d(x_n,x_m) =\arctan \bruch{|n-m|}{1+n*m} [/mm] für alle n,m.
(Bei deiner Folge [mm] $x_n=(-1)^nn$ [/mm] gilt dies nicht für alle Paare n,m!)
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass [mm] $\varepsilon <\bruch{\pi}{2}$. [/mm] (Kleiner als vorgegeben darf es immer sein.) Gesucht ist ein N>0, sodass
(*) [mm] d(x_n,x_m) <\varepsilon [/mm] für alle $n,m>N$.
Wir können ferner annehmen, dass [mm] $n\ge [/mm] m$. Dann ist
[mm]\bruch{|n-m|}{1+n*m} = \bruch{n-m}{1+n*m} < \bruch{n+m}{1+n*m} < \bruch{1}{m} + \bruch{1}{n} \le \bruch{2}{m}[/mm]
Da der Arcustangens eine monotone Funktion ist, gilt
[mm] \arctan\bruch{|n-m|}{1+n*m} < \arctan \bruch{2}{m} [/mm]
Also ist die Bedingung (*) erfüllt, wenn
[mm] \arctan \bruch{2}{m} \le \varepsilon \gdw \bruch{2}{m} \le \tan \varepsilon \gdw m \ge \bruch{2}{\tan\varepsilon} [/mm]
oder:
[mm] N \ge \left\lceil\bruch{2}{\tan\varepsilon}\right\rceil [/mm]
Also ist [mm] $x_n=n$ [/mm] eine Cauchyfolge.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 02.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wie kommst du eigentlich auf arctan(|n-m|/(1+n*m))?
Ist [mm] d(x_n,x_m)=|arctan(x_n)-arctan(x_m)|=|arctan(n)-arctan(m)| [/mm] für [mm] x_n=n [/mm] das selbe wie arctan(|n-m|/(1+n*m))?
Und noch etwas: ich bräuchte nicht nur eine Folge [mm] x_n, [/mm] für die [mm] arctan(x_n)=\pi/2 [/mm] sein kann sonder auch eine, wo [mm] arctan(x_m)=-\pi/2 [/mm] sein kann. Sonst komme ich nicht auf [mm] \pi [/mm] als Grenzwert für die gesamte Metrik.
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 02.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie kommst du eigentlich auf arctan(|n-m|/(1+n*m))?
> Ist
> [mm]d(x_n,x_m)=|arctan(x_n)-arctan(x_m)|=|arctan(n)-arctan(m)|[/mm]
> für [mm]x_n=n[/mm] das selbe wie arctan(|n-m|/(1+n*m))?
Das folgt aus dem Additionstheorem des Tangens:
[mm] \tan(a-b) = \bruch{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b} [/mm]
Jetzt musst du nur noch ein bischen mit den Vorzeichen aufpassen, damit [mm] $-\pi/2
[mm] a-b = \arctan\bruch{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}[/mm].
> Und noch etwas: ich bräuchte nicht nur eine Folge [mm]x_n,[/mm] für
> die [mm]arctan(x_n)=\pi/2[/mm] sein kann sonder auch eine, wo
> [mm]arctan(x_m)=-\pi/2[/mm] sein kann. Sonst komme ich nicht auf [mm]\pi[/mm]
> als Grenzwert für die gesamte Metrik.
Wozu brauchst du das?
Die Folge [mm] $x_n=n$ [/mm] ist eine Cauchyfolge in [mm] $(\IR,d)$. [/mm] Hat sie einen Grenzwert, gibt es also eine Zahl [mm] $a\in\IR$, [/mm] sodass [mm] $(x_n-a)$ [/mm] eine Nullfolge ist?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 02.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich suche doch eine Folge, die ihren Grenzwert außerhalb der definierten Metrik hat, um zu zeigen, dass diese nicht vollständig ist. Eine 0-Folge bringt mich da nicht weiter, da die 0 innerhalb meiner Metrik liegt. Darum bräuchte ich eine Folge, für die die Metrik gegen [mm] \pi [/mm] läuft oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 02.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich suche doch eine Folge, die ihren Grenzwert außerhalb
> der definierten Metrik hat, um zu zeigen, dass diese nicht
> vollständig ist.
Richtig.
> Eine 0-Folge bringt mich da nicht weiter,
> da die 0 innerhalb meiner Metrik liegt.
Du solltest dir nochmal genau durchlesen, was ich geschrieben habe.
Du hast eine Cauchyfolge, nämlich [mm] $x_n=n$. [/mm] Nenne mir den Grenzwert dieser Folge! Wenn du das nicht kannst, bist du fertig.
> Darum bräuchte ich
> eine Folge, für die die Metrik gegen [mm]\pi[/mm] läuft oder nicht?
Nein. Du behauptest das die ganze Zeit, hast mir aber noch nicht erklären können, warum das nötig sein soll.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 02.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Also bräuchte ich quasi nur eine Folge angeben, welche zwar eine Cauchy-Folge ist, aber nicht konvergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also bräuchte ich quasi nur eine Folge angeben, welche zwar
> eine Cauchy-Folge ist, aber nicht konvergent?
genau: Ein metrischer Raum ist genau dann vollständig (bzgl. der Metrik), wenn jede Cauchyfolge (bzgl. der Metrik) in dem Raum konvergiert.
Insbesondere heißt dass:
Wenn nicht gilt: Jede Cauchyfolge (bzgl. der Metrik) des Raumes ist konvergent in dem Raum, dann ist der metrische Raum unvollständig.
Oder mit anderen Worten:
Wenn es in dem metrischen Raum eine Cauchyfolge (bzgl. der Metrik) gibt, die nicht in dem Raum konvergiert, dann ist der metr. Raum unvollständig.
Oder nochmal anders ausgedrückt:
Findest Du eine divergente Cauchyfolge, so hast Du gezeigt, dass der Raum unvollständig ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 02.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Jetzt hab ich es verstanden :)
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe und für eure Geduld!
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