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| Aufgabe | | Man zeige, dass der Raum C(K) der stetigen Funktionen [mm] f:K\to\IC, [/mm] versehen mit der sup-Norm, für jeden kompakten metrischen Raum vollständig ist. |
Hallo,
obige Frage/Aufgabe beschäftigt mich derzeit.
Ist [mm] K\subseteq\IR, [/mm] also z.B. [0,1], dann lässt sich die Behauptung gut zeigen. Nun haben wir aber einen allgemeineren Fall, und so möchte ich mal mein Glück versuchen:
Also z.z. ist: [mm] (C(K),\Vert\cdot\Vert) [/mm] ist vollständig, d.h. jede Cauchyfolge (CF) konvergiert in diesem Raum.
[mm] \textbf{1. Existenz des Limes}
[/mm]
Sei [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] eine CF, d.h. für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] , derart, dass für alle n,m>N gilt: [mm] \Vert f_n-f_m\Vert<\epsilon.
[/mm]
Nun ist [mm] \Vert f_n-f_m\Vert=\sup_{t\in K}|f_n(t)-f_m(t)|<\epsilon \Rightarrow [/mm] für alle [mm] t\in [/mm] K gilt nun [mm] |f_n(t)-f_m(t)|<\epsilon. [/mm]
Wählt man nun ein [mm] t\in [/mm] K fest, so ist [mm] (f_n(t))_n [/mm] eine CF in [mm] \IC. [/mm] Da die komplexen Zahlen vollständig sind, existiert der Grenzwert in IC. Es ex. also [mm] \lim_{n\to\infty}f_n(t)=:f(t)
[/mm]
Wir müssen nun die Stetigkeit von f zeigen.
[mm] \textbf{2. Stetigkeit von f}
[/mm]
Wir wählen ein [mm] t_0\in{}K. [/mm] Weiter sei [mm] f_{n'} [/mm] stetig, d.h. also es ex. [mm] \delta>0 [/mm] derart, dass für alle [mm] t\in{}K: d(t,t_0)<\delta\Rightarrow |f_{n'}(t)-f_n(t_0)|<\epsilon
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass [mm] |f(t)-f(t_0)| [/mm] beliebig klein wird.
[mm] |f(t)-f(t_0)|<|f(t)-f_{n'}(t)|+|f_{n'}(t)-f_{n'}(t_0)|+|f(t_0)-f_{n'}(t_0)|<3\epsilon,
[/mm]
weil [mm] f_{n'}\to [/mm] f und [mm] |f_{n'}(t)-f_n(t_0)|<\epsilon.
[/mm]
Damit wurde doch gezeigt, dass überhaupt ein f existiert und zusätzlich, dass es stetig ist. Damit ist es wieder in dem raum der stetigen FUnktionen.
Ich bin mir jedoch unsicher, wegen der Allgemeinheit des kompakten metrischen Raumes. Wo habe ich schludrig argumentiert?
Es wäre super, wenn jemand über obige Überlegungen schauen könnte.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 12.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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