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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Do 06.12.2012 | | Autor: | arraneo |
EDIT: Tippfehler korrigiert. (HELBIG)
Hey,
Aufgabe: (X,d) ein metrischer Raum gegeben durch:
X:={ [mm] (a_k)_{k \in N}|(\forall)k\in [/mm] N: [mm] a_k\in [/mm] R)^( [mm] \exists k_0\in [/mm] N [mm] \forall k\ge k_0:a_k=0) [/mm] }
d: [mm] X\times [/mm] X [mm] \to [/mm] R , [mm] ((a_k)_{k\in N},(b_k)_{k\in N}) \mapsto sup_{k \in N}|a_k-b_k|
[/mm]
Zeigen Sie, dass X nicht vollständig ist, in dem Sie die Folge von Folgen [mm] (x_k)_{k\in N} [/mm] in X betrachten, wobei: [mm] \forall n\in [/mm] N :
[mm] x_n:=(a_k^n)_{k\in N} [/mm] und [mm] a_k^n:=\begin{cases} \bruch{1}{k}, & \mbox{für } k\le n \\ 0, & \mbox{für } k>n \end{cases}
[/mm]
Idee: Ein Raum ist dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge aus X einen Grenzwert in X besitzt. Ich sollte daher eine Cauchy-Folge finden, die divergiert, oder deren Grenzwert nicht in X liegt.
Die vorgegebene Folge (von Folgen) sollte also zwar eine Cauchy-Folge sein, die aber nicht in X konvergiert.
Ich glaube die Folge von Folgen sieht ungefähr so aus:
[mm] x_n= \{(1^n), (\bruch{1}{2^n}),(\bruch{1}{3^n}),(\bruch{1}{4^n}),...,(\bruch{1}{n^n}), 0, ..., 0\}
[/mm]
oder?
Dann konvergiert aber jede Koordinatenfolge gegen 0. außer [mm] a_1^n, [/mm] die gegen 1 konvergiert.
Dann sollte diese Folge schon eine CF sein, nicht?
Irgendwas habe ich bestimmt falsch von dieser Aufgabe verstanden, kann mir bitte jemanden erklären, was genau?
Vielen Dank,
lg. arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine folgen sehen nicht so aus, sieh dir doch die Def. von [mm] a_k^n [/mm] nochmal an- [mm] a_k^1=0 [/mm] für alle k>1 und 1 für k=1
[mm] a_k^2: a_1^2=1,a_2^2=1/2 a_k^2=0 [/mm] für k>2 usw.
Gruss Leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 07.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey, vielen Dank für die Antwort.
Kannst du es bitte mal deutlicher klären? nämlich warum soll die Folge so aussehen, wie du es geschrieben hast?
Ist k nicht der Indizes der Koordinatenfolge?
dann haben wir: [mm] a_n^k=\{(a_1^n),(a_2^n),...,(a_n^n)\} [/mm]
Nun mal warum ist [mm] a_2^n=\bruch{1}{2a_k^n}? [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{2^n}.
[/mm]
Also besser gesagt, warum geht deine KoordinatenFolge über k und nicht über n?
lg-arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
da ich gerade keine Zeit habe: Vielleicht wird der Thread für andere
besser wieder sichtbar, wenn ich mal eine Mitteilung hier verfasse -
damit ist er vielleicht "weiter oben" bei den offenen Fragen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo arraneo,
Zunächst habe ich einen Tippfehler in Deiner Aufgabenstellung korrigiert:
Es ist [mm] $a^n_k$ [/mm] das k-te Glied der n-ten Folge. Die ersten drei Folgen sehen so aus:
[mm] $x_1=1, [/mm] 0, [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $x_2=1, \frac [/mm] 1 2, 0, [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $x_3=1, \frac [/mm] 1 2, [mm] \frac [/mm] 1 3, 0 [mm] \ldots$
[/mm]
Die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] ist eine Cauchyfolge bzgl. der Supremumsnorm, weil
[mm] $\| x_m [/mm] - [mm] x_n\| [/mm] = [mm] \frac [/mm] 1 {m+1}$ für alle $m, n$ mit $m< n$.
Die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert gegen die Folge $x=(1/k)$. Aber [mm] $x\notin [/mm] X$, also ist [mm] $x_n$ [/mm] eine Cauchyfolge, die nicht in $X$ konvergiert.
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 09.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang!
Vielen Dank für deine Antwort! Mir ist die Aufgabe jetzt viel verständlicher , verstehe aber nicht wirklich wie du darauf gekommen bist.
Also einerseits auf:
[mm] ||x_m-x_n||=\bruch{1}{m+1}, \forall [/mm] m,n mit m<n.
und andererseits darauf, dass [mm] (x_k)=\bruch{1}{k} [/mm] nicht in X liegt.
Ich würde mich auf deine Klärung sehr freuen.
lg, arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 09.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo arraneo.
>
> Also einerseits auf:
>
> [mm]||x_m-x_n||=\bruch{1}{m+1}, \forall[/mm] m,n mit m<n.
Die Folge [mm] $x_n-x_m$ [/mm] beginnt mit m Nullen, gefolgt von den Gliedern
[mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {m+1},\ldots, \frac [/mm] 1 n, 0, 0, [mm] \ldots [/mm] $
Damit ist [mm] $\frac [/mm] 1 {m+1}$ das größte Folgenglied.
>
> und andererseits darauf, dass [mm](x_k)=\bruch{1}{k}[/mm] nicht in X
> liegt.
Ist [mm] $(a_k)\in [/mm] X$, so ist [mm] $a_k=0$ [/mm] für fast alle k. Aber die Glieder der Folge [mm] $(x_k)$ [/mm] sind für alle k [mm] $\ne$ [/mm] 0.
Grüße Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 09.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Alles klar Wolfgang ! Vielen Dank für deine ständige Hilfe!
wir wären total verloren sonst.
lg.
arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Mo 10.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Wolfgang,
Es ist mir ziemlich peinlich, aber mir ist trotzdem nicht klar, wo dieses 1/(m+1) herkommt.
Sei z.B. m=6 und n=4, also gilt: m>n.
dann ist [mm] x_n=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)
[/mm]
und [mm] x_m=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},\bruch{1}{5},\bruch{1}{6},0,0,...)
[/mm]
Dann ist die Folge [mm] (x_m-x_n)=(0,0,0,0,\bruch{1}{5},\bruch{1}{6},0,0...) [/mm]
Es gibt also nur Nulle bis [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] , dann weiter Folgeglieder bis [mm] \bruch{1}{m} [/mm] und dann wieder Nulle..
[mm] ||x_m-x_n||=\bruch{1}{n+1} [/mm] daher, da [mm] \bruch{1}{n}>\bruch{1}{m}, [/mm] wenn m>n.
Ist das nicht richtig?
lg.
arraneo
Ok, das ist dasselbe mit dem, was du geschrieben hast, nur umgekehrt.. also ist alles klar.
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