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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 10.12.2008 | | Autor: | sunny9 |
Hallo, wir haben heute eine Klausur geschrieben und ich glaub die war nicht so gut bei mir. Es beschäftigt mich jetzt aber dennoch und mich würde einfach interessieren, woran es lag, dass ich es nicht geschfft habe.
alos als erstes mal habe ich eine Frage zu einer vollständigen Induktion:
[mm] 1.)\sum_{k=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
so, nun bin ich noch so weit gekommen, das ich den Induktionsstart gemacht habe und für 1 es bewiesen habe.
dann habe ich statt n k eingesetzt. Und dann habe ich versucht k+1 einzusetzten und zu beweisen, doch ich bin einfach nicht auf dasselbe gekommen.
es endete bei mir bei [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{k+1}{k+2} [/mm] und da kam ich einfach nicht weiter, kann mir da jemand helfen?
ein weiteres Problem ist dann in Aufgabe 4 aufgetreten:
4.) Ein Kreis mit dem Radius r hat den Flächeninhalt [mm] \pi*r^2, [/mm] ein Viertelkreis also den Flächeninhalt [mm] \bruch{1}{4}\pi*r^2.
[/mm]
a.) Veranschaulichen Sie zeichnerisch: ein Viertelkreis ist der Graph der Funktion [mm] k(x)=\wurzel{r^2-x^2} [/mm] im Intervall(0;r) (hierbei habe ich einfach einen Kreis gezeichnet und die Außenlinie des Kreises im 1. Quadraten markiert. Mehr viel mir dazu einfach nicht ein).
Jetzt b.) das war das größte Problem:
b.)Zeigen Sie: [mm] \int_{r}^{0}\wurzel{r^2-x^2}dx= \bruch{1}{4}\pi*r^2. [/mm] (das wäre durchaus noch möglich denke ich aber jetzt:) Verwenden Sie dabei die Substitution x = g(t) = [mm] r*\cos [/mm] t.
Das bedeutet doch, man soll die Substitution der 2.Art anwenden, oder? also Substitution der Integrationsvariablen. Ich habe nur leider mit dem [mm] \cos [/mm] t und so nichts anfangen können.
7.) Berechnen Sie das Volumen des Salzstreuers. Führen Sie dazu ein günstiges Koordinatensystem ein und stellen Sie eine mögliche Funktionsgleichung für den gekrümmten Rand auf. Entnehmen Sie der Skizze die hierfür erforderlichen Maße. So, daneben war eine Zeichnung, ich weiß nicht, aber kann ich die veilleicht nachzeichnen und hier reinstellen?
naja, so lange beschreibe ich sie einfach mal:
Also der Salzstreuer lag mit der Öffnung nach links. Der Boden und die Öffnung waren 2,5 cm breit. Insgesamt war er 3 cm lang. nach 1 cm nach der Öffnung (also von links 1 cm nach rechts) kam eine Ausbeulung. An der breitesten Stelle war er 3,2 cm breit.
So, ich hoffe das kann man sich einigermaßen vorstellen.
Das Koordinatensystem habe ich in der Mitte angesetzt, also in der Mitte der Öffnung links die x-Achse "reinlaufen" lassen und an der Öffnung links hoch die y-Achse.
Mein Lösungsansatz war das ich mir das ganze erstmal 2dimensional vorgestellt habe und die versucht habe die Auskrümmung (von 1 bis 3 cm) als Funktion zu erfassen.Dazu habe ich mir 3 Punkte gesucht:
P (1/1,25), Q (3/1,25), H (2/1,6)
Nun habe ich drei Gleichungen aufgestellt und jeweils so umgestellt bis ich eine Gleichung raushatte. Ich bin einfach davon ausgegangen, dass das eine Parabel ist.
I. 1,25 = a + b+c
II. 1,25 = 9a+3b+c
III. 1,6 = 4a+2b+c
Ja, ich habe das jetzt nochmal gerechnet und jetzt schon was anderes als in der Klausur raus. Nagut, jetzt habe ich a=5,45; b=-4; c=-0,2 raus. Es wäre natürlich erfreulich, wenn das jetzt falsch wäre, dann hätte ich es in der Klausur vielleicht doch noch richtig.
Nagut, dann dachte ich ich rechne das erste Rechteck aus: 1*2,5 =2,5
Und da es nicht 3dimensional ist, habe ich jetzt die Volumenformel angewendet:
[mm] V=\pi*\int_{1}^{0}{(2,5x)^2 dx} [/mm] (also die Formel:
V [mm] =\pi*\int_{b}^{a}{f(x))^2 dx}
[/mm]
Und das gleiche habe ich mit meiner anderen Funktion in den Grenzen (3;1) gemacht.
Nun kann mein Ergebnis in der Klausur wegen der wahrscheinlich falschen Funktion schon nicht stimmen, aber ich komme auch immer auf unterschiedliche Ergebnisse.
Bei zwei Aufgaben bin ich mit sicher, das ich die richtig gemacht habe. Wir hatten so viele Aufgaben, weil wir fast 6 Stunden geschrieben haben.
Das sind die Hauptfragen. Wenn mir irgendjemand bei einer auch nur ansatzweise weiter helfen könnte, wäre ich schon sehr glücklich. Ich habe noch weitere Fragen, die setzte ich einfach hier mal mit hin, allerdings ist mir bewusst, das es sehr viel ist und erwarte nicht, das alles gelöst werden kann, aber falls jemand grade die lieber mag und eine Idee hat, freue ich mich auch sehr darüber.
Also:
9a.) Untersuchen Sie die uneigentlichen Integrale [mm] A_2 [/mm] = [mm] \int_{1}^{0}\bruch{1}{x^k}dx [/mm] und [mm] B_2 [/mm] = [mm] \int_{\infty}^{1}\bruch{1}{x^k}dx [/mm] für k=0,5 und k=2.
Meine Ergebnisse sind: k=0,5 A: =2 B: [mm] \infty
[/mm]
k=2 A: infty B: 1 , wenn ich mich recht erinnere.
b.) Untersuchen Sie nun allgemein für welche positiven rationalen Zahlen k die uneigentlichen Integrale [mm] A_2 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] existieren.
Da wusste ich nicht, wie ich das aufschreiben sollte.
Ich habe mir überlegt: für A: k muss größer oder gleich 1 sein und für B: k muss kleiner als 1 sein.
Aber ich glaube, dass kann so nicht stimmen.
Und jetzt wirklich als letztes habe ich noch 5 Integrale, die zu berechnen waren, bei denen ich teilweise auch Ergebnisse raus habe, die aber nicht sein können, glaube ich.
10.1) [mm] \int_{3}^{0}\bruch{2x}{1+x^2}dx [/mm]
10.2) [mm] \int_{2}^{1}x*ln(x) [/mm] dx
10.3) [mm] \int_{pi-1}^{-1}x^2*sin(x+1)dx
[/mm]
10.4) [mm] \int_{1}^{0}\bruch{x}{\wurzel{1-3x}}dx [/mm] (Substitution x = [mm] \bruch{1}{3}(t-1)-> [/mm] also wieder Substitution der Integrationsvariablen)
10.5) [mm] \int_{9}^{0}\wurzel 1+(x^{0,5}-\bruch{1}{4}x^{-0,5})^2
[/mm]
So, das wärs jetzt also wirklich. Bei dem Rest bin ich mir sicher, denk ich. Eigentlich konnte ich das Thema vorher wirklich, aber leider hat die Klausur nicht so gut geklappt. Naja, also ich würde mich dehr freuen, wenn irgendjemand sich das mal ansehen würde.
Also vielen Dank schon mal und herzliche Grüße
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Hi,
die vollständige Induktion sieht doch fast richtig aus. Da du keinen Rechenweg angegeben hast, schreib ich den Induktionsschritt kurz hin, den Anfang für n=1 hast du ja schon gezeigt.
Also:
Induktionsvoraussetzung:
für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \sum_{k=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Schritt n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] \sum_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\sum_{k=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = (nach Induktionsvoraussetzung) [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{(n+1)+1}
[/mm]
und damit bist du fertig. D.h. dein Ergebnis hat eigentlich schon gestimmt, der Umformungsschritt allerdings nicht.
Hoffe ich konnte dir damit ein bisschen weiterhelfen,
lg, Kathi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 10.12.2008 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank schon mal!
Das hat mir tatsächlich sehr geholfen, ich kam einfach nicht auf die Umformung. naja, was solls...
Ich habe noch eine Ergänzung zu 4.) n soll Element aus allen natürlichen Zahlen sein, hatte ich vergessen.
Also vielen Dank noch mal.
Herzliche Grüße
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Hallo sunny!
In Zukunft bitte derartige verschiedene und unabhängige Aufgaben in unterschiedliche Threads posten.
> 10.1) [mm]\int_{3}^{0}\bruch{2x}{1+x^2}dx[/mm]
Substituiere hier den Nenner!
> 10.2) [mm]\int_{2}^{1}x*ln(x)[/mm] dx
partiell integrieren
> 10.3) [mm]\int_{pi-1}^{-1}x^2*sin(x+1)dx[/mm]
2-mal partiell integrieren
> 10.4) [mm]\int_{1}^{0}\bruch{x}{\wurzel{1-3x}}dx[/mm] (Substitution
> x = [mm]\bruch{1}{3}(t-1)->[/mm] also wieder Substitution der
> Integrationsvariablen)
o.g. Tipp befolgen und substituieren
> 10.5) [mm]\int_{9}^{0}\wurzel 1+(x^{0,5}-\bruch{1}{4}x^{-0,5})^2[/mm]
zunächst Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 10.12.2008 | | Autor: | sunny9 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nächstes mal werde ich die Fragen einzeln fragen!
Ich habe versucht die Integrale auszurechnen und es hat bis auf das letzte auch einigermaßen geklappt.
10.1) \left[ ln (1+x^2) \right] ist meine Stammfunktion
und mein Ergebnis ist 2,302...
10.2) \left[ ln (x) \right] und = 0,693...
10.3) = -5,965...
10.4) = 1,98148...
nur bei 10.5) komm ich nicht auf ein Ergebnis, das stimmen kann, habe ich das Gefühl.
die Klammer solle über das gesammte rübergehen, ich versuche es nocheinmal:
$ \int_{9}^{0}\wurzel { 1+(x^{0,5}-\bruch{1}{4}x^{-0,5})^2 { $so, und nun habe ich schon:
(1+x+\bruch{1}{16}x^(-1))^(0,5)
aber ich glaube bis dahin ist schon was falsch, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mi 10.12.2008 | | Autor: | QCO |
10.1) Stammfunktion [mm]F=ln(x^{2}+1)[/mm] ist richtig, aber dein Ergebnis nicht. Bedenke, was obere und untere Grenze der Integration ist.
10.2) Falsch. Die Stammfunktion ist hier [mm]F=\frac{x^2*ln(x)}{2}-\frac{x^2}{4}[/mm]. Mach doch mal eine partielle Integration ([mm]\int u' v = u v - \int u v'[/mm]) mit [mm]v = ln(x)[/mm].
10.3) Falsch. Die Stammfunktion kannst du mit zweimal part. Integration finden ([mm]x^2 \to x \to 1[/mm]):
[mm]F=(2-x^2) cos(x+1) + 2x sin(x+1)[/mm]
10.4) Da stimmt meiner Meinung nach was mit der Aufgabe nicht. Wenn du diese Funktion von 0 bis 1 integrierst, wird die Wurzel ab [mm]x>\frac{1}{3}[/mm] komplex. Das bekommst du doch auch durch Substitution nicht weg.
10.5) [mm](x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}})^2 = x - 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{16} x^{-1}[/mm]. Und jetzt wieder du...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mi 10.12.2008 | | Autor: | sunny9 |
vielen Dank, ich werde es gleich versuchen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich hatte deine Antwort erst nach meiner gelesen, denn sonst hätte ich mir meine verkniffen 
Lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo,
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> vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Nächstes mal werde ich die Fragen einzeln fragen!
> Ich habe versucht die Integrale auszurechnen und es hat
> bis auf das letzte auch einigermaßen geklappt.
> 10.1) [mm]\left[ ln (1+x^2) \right][/mm] ist meine Stammfunktion
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das stimmt.
> und mein Ergebnis ist 2,302...
das stimmt nicht - denn die Grenzen standen anders herum da ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Ergebnis: [mm] \red{-}ln(10)
[/mm]
> 10.2) [mm]\left[ ln (x) \right][/mm] und = 0,693...
nein, du hast wohl abgeleitet anstatt integriert, oder?
> 10.3) = -5,965...
ich erhalte ein anderes Ergebnis - wie lautet deine Stammfunktion?
> 10.4) = 1,98148...
diese Aufgabe kann nicht stimmen, denn für x=1 ist die Wurzel negativ.
> nur bei 10.5) komm ich nicht auf ein Ergebnis, das stimmen
> kann, habe ich das Gefühl.
> die Klammer solle über das gesammte rübergehen, ich
> versuche es nocheinmal:
>
> [mm]\int_{9}^{0}\wurzel { 1+(x^{0,5}-\bruch{1}{4}x^{-0,5})^2 { [/mm]so,
> und nun habe ich schon:
> [mm](1+x+\bruch{1}{16}x^{-1})^{0,5}[/mm]
> aber ich glaube bis dahin ist schon was falsch, oder?
Ich habe das Gefühl, dass auch hier die gesamte Aufgabe nicht stimmt, denn wenn die Klammer über den gesamten Ausdruck geht, dann gibt es keine geschlossenen Darstellung der Stammfunktion.
Liebe Grüße
Herby
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Hallo sunny!
> 9a.) Untersuchen Sie die uneigentlichen Integrale [mm]A_2=\int_{1}^{0}\bruch{1}{x^k}dx[/mm] und
> [mm]B_2=\int_{\infty}^{1}\bruch{1}{x^k}dx[/mm] für k=0,5 und k=2.
> Meine Ergebnisse sind: k=0,5 A: =2 B: [mm]\infty[/mm]
> k=2 A: infty B: 1 , wenn ich mich recht erinnere.
Das sieht gut aus ...
> b.) Untersuchen Sie nun allgemein für welche positiven
> rationalen Zahlen k die uneigentlichen Integrale [mm]A_2[/mm] und
> [mm]B_2[/mm] existieren.
> Da wusste ich nicht, wie ich das aufschreiben sollte.
> Ich habe mir überlegt: für A: k muss größer oder gleich 1
> sein und für B: k muss kleiner als 1 sein.
Für $A_$ solltest Du nochmal den Fall $k \ = \ 1$ überdenken.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Do 11.12.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo sunny!
Für diese Aufgabe ist wahrscheinlich eine Skizze sehr hilfreich.
Wie das geht ... ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") FAQ: Bild einfügen
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo sunny!
Um die Problematik mit den Integrationsgrenzen zu umgehen, kannst Du das Integral erst unbestimmt lösen:
[mm] $$\integral{\wurzel{r^2-x^2} \ dx}$$
[/mm]
Substitution (gemäß Vorgabe): $x \ := \ [mm] r*\cos(t)$
[/mm]
Damit wird auch: $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] -r*\sin(t) [/mm] \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ dx \ = \ [mm] -r*\sin(t)*dt$
[/mm]
[mm] $$\integral{\wurzel{r^2-\red{x}^2} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\wurzel{r^2-\left[\red{r*\cos(t)}\right]^2} \ \left[\blue{-r*\sin(t) \ dt}\right]} [/mm] \ = \ [mm] -r*\integral{\sin(t)*\wurzel{r^2-r^2*\cos^2(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] -r*\integral{\sin(t)*r*\wurzel{1-\cos^2(t)} \ dt}$$
[/mm]
Nun [mm] $1-\cos^2(t) [/mm] \ = \ [mm] \sin^2(t)$ [/mm] ersetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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