Vollständige Induktion Ungl. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Ich soll mittels vollständiger Induktion beweisen: [mm] 2^n>5n [/mm] mit [mm] n\in \IN
[/mm]
Der Induktionsanfang ist klar: Es gilt für alle n>=5. Wie funktioniert der Induktionsschritt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
> ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Ich soll
> mittels vollständiger Induktion beweisen: [mm]2^n>5n[/mm] mit [mm]n\in \IN[/mm]
>
> Der Induktionsanfang ist klar: Es gilt für alle n>=5. Wie
> funktioniert der Induktionsschritt?
Was meinst du damit: "Es gilt für alle n >= 5"?
Der Induktionsanfang ist, die Aussage für n = 5 nachzuprüfen. Da steht dann da:
[mm] $2^{5} [/mm] = 32 > 25 = 5*5$
okay?
Beim Induktionsschritt hast du nun gegeben, dass [mm] $2^{n} [/mm] > 5*n$ gilt, und musst beweisen, dass dann auch [mm] $2^{n+1} [/mm] > 5*(n+1)$ gilt.
Beginne so:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > ...$
(Nun Induktionsvoraussetzung benutzen und n [mm] \ge [/mm] 5 !)
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Danke, genau bis zum "..." bin ich gekommen ;)
Ich habe jetzt [mm] 2^n+1=2^n*2^1 [/mm] > 5(n+1)
Ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen muss oder was ich wo einsetzten soll.
|
|
|
| |
|
Hallo,
schreibe bitte beim nächsten Mal, wie weit du gekommen bist, damit wir uns nicht umsonst bemühen.
Wir haben:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n}$
[/mm]
Nun können wir die Induktionsvoraussetzung benutzen! Wegen [mm] $2^{n} [/mm] > 5*n$ ist:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > 2*(5*n) = 5*n + 5*n$
Nun gilt [mm] $n\ge [/mm] 1$, deswegen ist $5*n [mm] \ge [/mm] 5$, und wir haben:
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > 2*(5*n) = 5*n + 5*n [mm] \ge [/mm] 5*n + 5 = 5*(n+1)$,
was zu zeigen war.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Antwort! Habe es fast verstanden. Mir fehlt nur noch, wie du auf das [mm] \ge5\*n+5 [/mm] am Ende kommst. Könntest du mir das noch bitte erklären?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort! Habe es fast verstanden. Mir
> fehlt nur noch, wie du auf das [mm]\ge5\*n+5[/mm] am Ende kommst.
> Könntest du mir das noch bitte erklären?
Du fragst, warum
$5*n + 5*n [mm] \ge [/mm] 5*n + 5$
gilt? Meine Antwort: Nach Voraussetzung ist [mm] $n\ge [/mm] 5$, also insbesondere [mm] $n\ge [/mm] 1$. Damit ist $5*n [mm] \ge [/mm] 5$.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 17.04.2010 | | Autor: | s.t.o.r.m. |
Alles klar! Danke für die Hilfe und die schnellen Antworten!
|
|
|
|
