Vollständige Induktion Ungl. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:49 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | | Zeige durch vollständige Induktion: Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 10$ gilt: [mm] $n^{3} \le 2^{n}$. [/mm] |
Guten Morgen...
zu dieser Aufgabe habe ich zumindest schon mal den Induktionsanfang
n = 10 [mm] 10^{3} \le 2^{10} \Rightarrow [/mm] 1000 [mm] \le [/mm] 1024
ist eine wahre Aussage.
Induktionsschritt:
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (n+1)^{3} \le 2^{n+1} [/mm]
Tja, schaut zwar irgendwie nach Bernoullie-Ungleichung ist...
aber ich meine, dass das diese nicht ist....
Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich dann
damit weitermache...
Vielen Dank
Gruß Doreen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Doreen!
Beginne einfach mit der linken Seite der Ungleichung und forme um:
[mm] $(n+1)^3 [/mm] \ = \ [mm] \red{n^3} [/mm] \ + \ [mm] \blue{3n^2+3n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ ...$
Für den roten Term [mm] $\red{n^3}$ [/mm] kannst Du bereits die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Der blaue Term [mm] $\blue{3n^2+3n+1}$ [/mm] muss nun nochmal abgeschätzt werden. Ist dieser denn evtl. kleiner-gleich [mm] $n^3$ [/mm] ? 
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
es kann heute schon gut möglich sein, dass ich bei so einer leichten Aufgabe auf'm Schlauch stehe...
Induktionsschritt:
[mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] n^{3} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 3n +1 [mm] \le 2^{n} [/mm] + [mm] \underbrace{3n^{2} + 3n + 1}_{ \le n^{3}} \le 2^{n} [/mm] + [mm] n^{3} \le [/mm] .....? [mm] (\le) [/mm] oder (=) [mm] 2^{n+1} [/mm] was ja dann bewiesen wäre,
da wo die Pünktchen sind fehlt der entscheidene Schritt zum Ziel...
Leider befinde ich mich nicht in der Lage darauf zu kommen,
daher wäre ich um jede Hilfe Dankbar...
Vielen Dank
Doreen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Tut mir Leid, die Antwort ist natürlich richtig.
Ich bin vor lauter Hektik auf die falsche Taste gekommen, wollt
doch nur ne andere Frage dazu stellen....
|
|
|
|
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Für die Abschätzung [mm] $3n^2+3n+1 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^3$ [/mm] ist aber der Vollständigkeit halber ein zusätzlicher Nachweis erforderlich (nochmal eine kleine Induktion 