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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} k^{2} [/mm] = [mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] |
Wir haben bereits die Lösung erhalten. Ich verstehe nur nicht ganz wie man darauf kommt. Die entsprechenden Stellen habe ich markiert:
(IA) n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k k^2 [/mm] = -1 x [mm] 1^2 [/mm] = -1 [mm] (-1)^1 \bruch{1(1+1)}{2}
[/mm]
(IS) [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2 [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} (n+1)^2
[/mm]
= [mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1} (n+1)^2
[/mm]
= (-1) [mm] (-1)^{n+1} [/mm] (n+1) [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n+1}(n+1)(n+1)
[/mm]
...
Ich breche hier mal ab. Eigentlich soll alles vor dem "+"-Zeichen rot sein...
Weiter oben, bei der -1 verstehe ich nicht wo die herkommt.
Und bei dem letzten Schritt verstehe ich nicht ganz wo das alles herkommt.
Also um es für den 2. Fall konkreter zu machen:
Wie kommt man von
[mm] (-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
auf
(-1) [mm] (-1)^{n+1} [/mm] (n+1) [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
?
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Hallo UM,
> Beweisen Sie:
> Für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} k^{2}[/mm] = [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> Wir haben bereits die Lösung erhalten. Ich verstehe nur
> nicht ganz wie man darauf kommt. Die entsprechenden Stellen
> habe ich markiert:
>
> (IA) n = 1 : [mm]\summe_{k=1}^{1} (-1)^k k^2[/mm] = -1 x [mm]1^2[/mm] = -1
Und? [mm](-1)\cdot{}1=-1[/mm], was ist daran unklar?
> = [mm](-1)^1 \bruch{1(1+1)}{2}[/mm]
Damit es in der gewünschten Form dasteht, wurde die [mm]-1[/mm] so umgeschrieben; wenn du diesen Ausdruck vereinfachst, kommt wieder [mm]-1[/mm] heraus ...
>
> (IS) [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2[/mm] =
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k k^2[/mm] + [mm](-1)^{n+1} (n+1)^2[/mm]
>
> = [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm] + [mm](-1)^{n+1} (n+1)^2[/mm]
Man möchte nun gerne [mm](-1)^{n+1}\cdot{}\frac{n+1}{2}[/mm] ausklammern, da man im Blick hat, dass man am Ende auf [mm]...=(-1)^{n+1}\cdot{}(n+1)(n+2)}{2}[/mm] hinaus will ...
> = (-1) [color=red][mm](-1)^{n+1}[/mm] (n+1) [mm]\bruch{n}{2}[/mm][/color] + [mm](-1)^{n+1}(n+1)(n+1)[/mm]
Nun, eigentlich wurde geschrieben: [mm](-1)^n=(-1)^{n+1-1}=(-1)^{n+1}\cdot{}(-1)^{-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{-1}[/mm]
Aber ob du nun durch [mm]-1[/mm] teilst, oder mit [mm](-1)[/mm] multiplizierst, ist herzlich egal:
[mm]\frac{a}{-1}=(-1)\cdot{}a[/mm] ...
Also schreiben die statt [mm]\frac{(-1)^{n+1}}{-1}[/mm] "schöner" [mm](-1)\cdot{}(-1)^{n+1}[/mm]
Nun kann man wie gewünscht ausklammern ...
>
> ...
>
> Ich breche hier mal ab. Eigentlich soll alles vor dem
> "+"-Zeichen rot sein...
>
> Weiter oben, bei der -1 verstehe ich nicht wo die
> herkommt.
> Und bei dem letzten Schritt verstehe ich nicht ganz wo das
> alles herkommt.
> Also um es für den 2. Fall konkreter zu machen:
> Wie kommt man von
> [mm](-1)^n \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
> auf
> (-1) [mm](-1)^{n+1}[/mm] (n+1) [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
>
> ?
Gruß
schachuzipus
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Danke für die Antwort.
Nun ist es aber so, dass beim Induktionsanfang nicht steht
n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k}k^{2} [/mm] = -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1
sondern es steht in der Lösung:
n = 1 : [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^{k}k^{2} [/mm] = -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1 [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2}
[/mm]
Dass -1 x [mm] 1^{2} [/mm] = -1 ergibt, weiß ich. Aber wieso steht dort -1 [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2} [/mm] ??
Diese -1 MAL [mm] (-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2} [/mm] verstehe ich nicht. Wo kommt das her?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 05.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Dass -1 x [mm]1^{2}[/mm] = -1 ergibt, weiß ich. Aber wieso steht
> dort -1 [mm](-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2}[/mm] ??
> Diese -1 MAL [mm](-1)^{1} \bruch{1(1+1)}{2}[/mm] verstehe ich
> nicht. Wo kommt das her?
Da fehlt einfach ein Gleichheitszeichen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Ultramann |
Hmm, ok. Ich werde versuchen heute mal den Prof zu fragen. Weil richtig kommt mir das auch nicht vor...
Vielen lieben Dank!
:D
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