Vollständige Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ist m [mm] \in [/mm] N, m [mm] \ge [/mm] 1, dann gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] eindeutig bestimmte q, r [mm] \in \IN
[/mm]
mit
n = q · m + r, 0 [mm] \le [/mm] r < m.
Um das ganze zu beweisen, muss ich mittels vollst. induktion über alle natürlichen zahlen beweisen dass diese aussage nicht nur für n sondern auch für n+1 gilt.
Mein Ansatz:
a) n+1 = (q · m + r) + 1
oder
b) n+1 = (q · m + r) + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (q · m + r)
Naja bei einer reihe kann ich die vorraussetzung nutzen und einsetzen dann die behauptung ausmultiplizieren und vergleichen, wenn beide gleich sind ist es bewiesen. aber das ist leider keine reihe. der grundegedanke wie ich zum ziel komme fehlt mir. wäre auch dankbar über jegliche tipps die mich selber auf eine lösung kommen lässt. möchte hier keine lösung. will das wirklich verstehen. danke an alle im voraus.
thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thomas!
Deine Idee ist schonmal gar nicht schlecht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Nehmen wir an, wir hätten die Behauptung bereits für die ersten Zahlen $1,2,...,n$ bewiesen. Insbesondere gibt es dann $q,r$ mit [mm] $n=q\cdot [/mm] m+r$, also $n+1 = [mm] q\cdot [/mm] m+r+1$. Es ist [mm] $r\in \{0,1,...,m-1\}$. [/mm] Ist [mm] $r\neq [/mm] m-1$, dann ist [mm] $r+1\in \{0,1,...,m-1\}$, [/mm] d.h. wir haben gewünschte Darstellung von $n+1$ gefunden. Ist hingegen $r=m-1$, dann ist $r+1=n$, d.h. $n+1 = [mm] q\cdot [/mm] m+m = q(m+1)+0$ und wir haben ebenfalls eine gewünschte Darstellung gefunden.
Damit ist die Existenz über vollständige Induktion. Die Eindeutigkeit lässt sich leicht zeigen, dafür würde ich aber keine Induktion verwenden. Versuchst du es einmal?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
